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1、第4章常微分方程数值解4.1微分方程在化工中的应用4.2欧拉（Euler）公式4.3龙格-库塔方法4.4常微分方程组的数值解法4.5程序示例目录4.1微分方程在化工中的应用微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽，其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸汽的温度。2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。3、在整个套管长度方向上，总传热系数K不变。据以上假设，可以得到图中所示微元的能量平衡方程（示意图见图4-
2、1）： 流入的热量+传入的热量-流出的热量=0（4-1）即：蒸汽入口流体入口，u，t0冷凝液出口流体出口，u，tL4.14.44.34.2总目录4.54.1微分方程在化工中的应用化简上式得其温度的微分方程：（4-3）微分方程中各变量的含义如下：通过求解微分方程（4-3），就可以得到管内流体的温度随管子长度而改变的曲线，为化工模拟和设计提供依据。如果方程（4-3）中传热系数、物流性质不随温度或位置的变化，那么，方程（4-3）是可以解析求解的（数值求解当然可以），得到我们常见的换热器传热方程；如果上述性质可能随温度或位置而改变，那么方程
3、（4-3）就只能用数值的方法求解了。事实上传热系数也好，物流性质也好都会随着温度的改变而改变，故在深入研究换热器各点温度分布时，拟采用微分方程的数值求解为好。4.14.44.34.2总目录4.54.1微分方程在化工中的应用另一个在化工中常见的微分方程是物料冷却过程的数学模型，其模型可用下式表示：它含有自变量t（时间）、未知函数T（随时间变化的物料温度）、T0（环境温度）、k（降温速率）以及温度的一阶导数,是一个常微分方程。在微分方程中我们称自变量函数只有一个的微分方程为常微分方程，自变量函数个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程
4、。给定微分方程及其初始条件，称为初值问题；给定微分方程及其边界条件，称为边值问题。在化工模拟中主要碰到的是常微分方程的初值问题：或记为只有一些特殊形式的,才能找到它的解析解；对于大多数常微分方程的初值问题,只能计算它的数值解。常微分方程初值问题的数值解就是求y(x)在求解区间[a,b]上各个分点序列xn，n=1,2,…,m的数值解yn。在计算中约定y(xn)表示常微分方程准确解的值，yn表示y(xn)的近似值。下面我们将向大家介绍几种常用的常微分方程数值求解法。4.14.44.34.2总目录4.54.2欧拉（Euler）公式4.2.
5、1向前欧拉公式4.2.2向后欧拉公式4.2.3中心欧拉公式4.2.4梯形公式4.14.44.34.2总目录4.54.2.1向前欧拉公式对于常微分方程初值问题［式（4-5）］,在求解区间[a,b]上作等距分割，步长，记xn=xn-1+h,n=1,2…,m。用差商近似导数计算常微分方程。做的在x=x0处的一阶向前差商得：又，于是得到：故y(x1)的近似值y1可按求得。类似地，由得到计算近似值的向前欧拉公式：由yn直接算出yn+1值的计算格式称为显式格式，向前欧拉公式是显式格式。而欧拉方法的几何意义是以y1作为斜率，通过点(x0,y0)做
6、一条直线，它与直线x=x1的交点就是y1。依此类推，是以yn+1作为斜率，经过点的直线与直线x=xn+1的交点。故欧拉法也称为欧拉折线法，如右图所示。4.14.44.34.2总目录4.54.2.1向前欧拉公式例4.1：假定某物体的温度w因自热而产生的热量可以使物体在每秒钟内以4%的速度增长，同时该物体由于散热可使其温度在每秒种内下降100k，则物体温度随时间变化的微分方程：（t以秒为单位)分别以初始温度x(0)=1500k,y(0)=2500k,z(0)=3500k，用欧拉公式预测24秒后的物体温度趋势。解：w0分别以x0=1500
7、,y0=2500,z0=3500代入，计算结果见表4-1(下页)。从表4-1可以看到当自热引起物体温度升高的速度小于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而逐渐减少：当自热引起物体温度升高的速度与散热引起温度下降的速度平衡时，物体的温度保持不变；当自热引起物体温度升高的速度大于散热引起温度下降的速度，物体的温度随时间而增长。在图4-3（下页）中L1,L2,L3分别表示初始值3500,2500和1500的三条温度变化趋势曲线。4.14.44.34.2总目录4.54.2.1向前欧拉公式图4-3三种初始值的温度变化曲线表4-14.14.
8、44.34.2总目录4.54.2.2向后欧拉公式做出的在x1处的一阶向后差商式：而，得到的近似值y1的计算公式：类似地，可得到计算y(xn+1)近似值yn+1的计算公式：公式(4-7)称为向后欧拉公式。通常为非线性函数，因此式(4-7
