成人高考数学平面解析几何

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1、平面解析几何初步罗展华2006年8月一、知识要求及变化1．整体定位“标准”中对“平面解析几何初步”这部分内容的整体定位如下：解析几何用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。怎样正确理解本部分内容的整体定位呢？第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转

2、化为代数问题；运用代数方法研究直线的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题。第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核心。学生在初中曾经学过建立直角坐标系且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。直线和圆是最基本的几何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关

3、系，即用数来研究形。这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数的几何意义。用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要突出几何要素。例如，对于两圆的位置关系，首先，把确定圆的几何要素（圆心、半径）与确定圆的位置关系的几何要素（圆心距）用代数表示出来，再用代数关系的几何意义（两圆的圆心距与两圆半径的数量关系表示的几何意义）来判断圆与圆的位置关系。也就是说，我们强调用“几何”来引导代数的恒等变换的计

4、算。其次是在学习中，我们提倡画图，不希望把解析几何变成纯粹的形式推导，例如：通过解两圆的方程构成的方程组来判断两圆的位置关系。第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。在本部分内容中，还介绍了空间直角坐标系。对于空间直角坐标系，只要求学生会用空间直角坐标系来刻画点的位置，并通过表示特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。这里不要求讨论空间图形的方程。本部分内容的知识结构是：2．课程标准的要求（1）直线与方程①在平面直角坐标

5、系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③能根据斜率判定两条直线平行或垂直；④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆

6、、圆与圆的位置关系；③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。“标准”中对“解析几何初步”的要求只是阶段性要求，在选修1、2中，还将进一步学习圆锥曲线与方程的内容。因此，对本部分内容的教学要把握好“度”，特别是对于解析几何思想的理解不能一步到位。3．课程标准要求的

7、具体化和深广度分析（1）如何认识“在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素”首先，让学生通过观察具体的直线，了解一点一方向或两个点可以完全确定一条直线，即确定直线位置的几何要素是一点和一方向或两个点。其次，让学生了解，可以用倾斜角来刻画直线的方向（在学习了平面向量之后，还可以用向量来刻画直线的方向），对不垂直于x轴的直线，也可以用斜率来刻画直线的方向。（2）如何认识“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式”①从静态的观点看，直线的倾斜角是直线与x轴的正方向所夹的角

8、；在直角坐标系中，直线的方向可以用直线相对于x轴正方向的倾斜角来刻画。倾斜角是是直线与x轴正方向所成的角。可以从以下几方面理解：②从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动所