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1、第五章 平面向量§5.1平面向量的概念及线性运算高效梳理●向量的有关概念及表示方法名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0＝共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量如＝a相反向量与向量a方向相反且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a●向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)常用结论加法求
2、两个向量和的运算(1)交换律：a+b=b+a(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c)(3)a+0=0+a=a减法求a与b的相反向量－b的和的运算a+(-a)=0数乘求实数λ与向量a的积的运算(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb●
3、a+b
4、2+
5、a-b
6、2=2(
7、a
8、2+
9、b
10、2)的几何意义如图,式子
11、a+b
12、2+
13、a-b
14、2=2(
15、a
16、2+
17、b
18、2)的几何意义为:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和.●平行向量(共线向
19、量)基本定理如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使a=λb.●平面向量基本定理如果e1､e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1､λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.●三点共线定理平面上三点A､B､C共线的充要条件是:存在实数α､β,使.其中α+β=1,O为平面内直线AB外任意一点.考点自测1.下列各命题:①向量的长度与向量的长度相等;②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量,其
20、终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向量.⑤向量与向量是共线向量,则点A､B､C､D必在同一条直线上;⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为()A.2B.3C.4D.5解析:①真命题;②假命题,若a与b中有一个为零向量时,其方向是不确定的;③真命题;④假命题,终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题,共线向量所在直线可以重合,也可以平行;⑥假命题,向量可用有向线段来表示,但并不是有向线段.答案:C答案:D答案:C答案:A答案:A题型突破题型一tixingyi向量的基本概念【例1】判断下列命题是否正确,不正确的说明理由
21、.(1)若向量a与b同向,且
22、a
23、>
24、b
25、,则a>b.(2)若向量
26、a
27、=
28、b
29、,则a与b的长度相等且方向相同或相反.(3)对于任意向量a,b,
30、a
31、=
32、b
33、,且a与b的方向相同,则a=b.(4)由于零向量0方向不确定,故0不能与任意向量平行.(5)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.(6)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.解析:(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量,它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故(1)不正确.(2)不正确,
34、a
35、=
36、b
37、只能判断两向量的长度相等,不能判断方向.(3)正确.∵
38、
39、a
40、=
41、b
42、,且a与b同向,由两向量相等的条件可得a=b.(4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行,可知(4)不正确.(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.(6)正确.对于一个向量,只要不改变其大小与方向,是可以任意移动的.规律方法:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以从反面进行考虑,要注意这两种方法的结合.另外,要特别注意“零向量”.创新预测1下列命题:①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;②△ABC中,必有++=0;③若++=0,则A､B､C为一个三角形的三个
43、顶点;④若a,b均为非零向量,则
44、a
45、+
46、b
47、与
48、a+b
49、一定相等.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①假命题,当a+b=0时,命题不成立;②真命题;③假命题,当A､B､C三点共线时,也可以有;④假命题,只有当a与b同向时二者相等,其他情况均为
50、a
51、+
52、b
53、>
54、a+b
55、.答案:B题型二tixinger向量的线性运算规律方法:用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加､减法,数乘向量外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线､相似三角形对应边成比例等平面几何的性
56、质,把未知量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
