幂级数泰勒级数--华南理工大学高数

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1、幂级数的运算第三节幂级数幂级数及其收敛性函数项级数的概念1.定义如则函数项级数.定义1幂级数一、函数项级数的概念为定义在(a,b)内的函数,称为定义在(a,b)内的2.收敛点与收敛域若常数项级数收敛(或发散)则称x0为函数项级数的收敛点(或发散点).函数项级数所有收敛点(或发散点)称为其收敛域(或发定义2散域).幂级数3.和函数定义3为函数项级数则s(x)称为函数项级数和函数.的前n项和序列,若极限存在,幂级数例解由比值(达朗贝尔)判别法(1)当时,原级数(2)当时,原级数绝对收敛;发散.求函数项级数的收敛域.幂级数级数为条件收敛级数为发散总之,所讨论的级数的收敛域为区间(

2、3)幂级数1.定义如下形式的函数项级数称为的幂级数.的幂级数.定义称为幂级数二、幂级数及其收敛性阿贝尔(Abel)(挪威)1802–1829定理1(阿贝尔(Abel)定理)则它在满足不等式绝对收敛;发散.收敛,发散,如果级数则它在满足不等式的一切x处如果级数的一切x处2.收敛半径和收敛域幂级数则收敛半径定理2如果幂级数的所有系数幂级数或此极限存在或为正无穷大例求下列幂级数的收敛半径与收敛域:解幂级数是收敛的交错级数.是调和级数,发散.故收敛域为解幂级数解幂级数级数为正项级数因为所以,故级数发散.对应的常数项级数也发散.当x=4时,故收敛域为幂级数发散收敛故收敛域为解(0,1

3、].即收敛即收敛幂级数讨论幂级数的收敛半径R.解作变换,令级数变为因为练习幂级数收敛半径设幂级数的收敛半径分别为则幂级数的收敛半径为()分析幂级数练习2.和函数的分析运算性质则其在端点收敛,则在端点单侧连续.幂级数1.代数运算性质三、幂级数的性质可逐项积分.则其幂级数(收敛半径不变)(收敛半径不变)逐项求导任意次.并可则其幂级数(3)幂级数的收敛半径为R(R>0),解(1)求收敛域发散发散故级数的求收敛域为例幂级数求幂级数的和函数(2)求和函数s(x)幂级数解(1)求收敛域发散收敛故级数的求收敛域为例幂级数(2)求和函数s(x)幂级数例求幂级数的和函数.解(1)求收敛域发散

4、收敛故级数的收敛域幂级数(2)求和函数s(x)设有幂级数因此,当x=0时,显然有总之有幂级数解收敛域为(1)求收敛域(2)求和函数s(x)设和函数例幂级数其中(3)求函数s(x)在的值幂级数解例幂级数逐项求导积分得幂级数幂级数函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数泰勒级数所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了.将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应用中都是十分重要的.如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式.问:哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?幂级数的系数如何确

5、定?这是本节要讨论的主要问题.一、泰勒级数1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?假设f(x)可以展开为幂级数，即函数展开成幂级数的某邻域内有n+1阶导数,则f(x)可表为:其中介于x与x0之间.回顾若函数f(x)在x0泰勒公式:(1)函数展开成幂级数如函数f(x)在x0的某邻域内是无穷次连续可微能想到什么(2)称幂级数(2)为函数f(x)在x0处的f(x)是否可展为如下的幂级数:不管f(x)能否展开泰勒级数.特别,为函数f(x)的麦克劳林级数.当x0=0时,称幂级数证由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,定理1(函数幂级数展开的唯一性)于

6、是函数展开成幂级数泰勒系数是唯一的,泰勒系数函数展开成幂级数所以,f(x)的展开式是唯一的.问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.可见在x=0点任意可导,函数展开成幂级数f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x).证必要性定理2函数展开成幂级数充分性设函数展开成幂级数1.直接展开法(泰勒级数法)步骤(2)写出泰勒级数并求收敛半径R.二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数例解其收敛半径因泰勒公式的余项(ξ介于0,x之间)它满足不等式~R=+∞.函数展开成幂级数对任一确定的是处处收敛的幂级数的一般项.是确定的数,而所以在上恒有有展开公式于是,函数展开成幂级数例解其收敛半径

7、对内任一点x,有R=+∞.函数展开成幂级数于是,有展开公式函数展开成幂级数例解函数展开成幂级数所以的泰勒级数的收敛区间是对不同的为了避免讨论余项的极限,设在区间的泰勒级数和函数s(x),即设下面证明由逐项求导得函数展开成幂级数敛散性不同.两边同乘以(1+x)后,注意右边方括号内的xn系数为函数展开成幂级数两边积分得牛顿二项式展开式函数展开成幂级数常见的展开式函数展开成幂级数例将展开为x的幂级数,并指出收敛域.解作变量代换函数展开成幂级数2.间接展开法例展开为x的幂级数.解而函数展开成幂级数例将展开为x的幂级数.解而