泰勒级数与幂级数(中

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1、课前练习3.求幂级数的收敛区间.课前练习课前练习原级数绝对收敛。原级数发散。收敛半径为：课前练习3.求幂级数的收敛区间.解:收敛.发散.(*)对于(*)一、函数项级数的概念微积分电子教案安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质§11.4泰勒级数与幂级数四、泰勒级数五、函数展开成幂级数三、幂级数的性质在收敛域上，函数项级数的和是的函数，称为函数项级数的和函数。上式两边积分得：于是幂级数在逐项微分或积分后，收敛半径不变，但

2、是收敛区间可能改变。三、幂级数的性质解：三、幂级数的性质例4发散;发散;故幂级数的收敛区间为解：三、幂级数的性质例4上式求导：解：三、幂级数的性质例4解三、幂级数的性质例5求级数å¥=--11)1(nnnnx的和函数.收敛;发散;故幂级数的收敛区间为解两边积分得三、幂级数的性质例5求级数å¥=--11)1(nnnnx的和函数.解：三、幂级数的性质例6发散;收敛;故幂级数的收敛区间为解：三、幂级数的性质例6练习.求的和函数，并求解：当x=1/2时，三、幂级数的性质幂级数的和函数S(x).如使得幂级数在其

3、收敛区间X内恰好等于f(x)？即相反的问题：f(x)如果能展开为幂级数，则称为f(x)的幂级数展开式对于给定的函数f(x)能不能找到一个幂级数四、泰勒级数含义不同:(1)表示幂级数的和函数(2)表示函数变为幂级数即展开为幂级数.(1)(2)f(x)如果能展开为幂级数(分为两种):四、泰勒级数问题:2.如果能展开,是什么?3.展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数?1.泰勒级数与麦克劳林级数四、泰勒级数定理不仅给出①求函数幂级数展开式的系数的方法，而且②说明函数的幂级数展开式是唯一的。定义特别

4、地当x0=0时，则称四、泰勒级数泰勒级数和定理1的微妙区别:如果函数f(x)在点x0处能展开为幂级数,则其幂级数展开式一定是泰勒级数.?如果按这种方法构造一个级数该级数的收敛区间?泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.四、泰勒级数定理如果函数f(x)在x0的某邻域内具有直到n+1阶的导数，则对该邻域内任意的x，有：拉格朗日余项四、泰勒级数（泰勒中值定理）f(x)在点x0处的n阶泰勒公式2、泰勒公式拉格朗日中值定理2阶：1阶：0阶：四、泰勒级数特别地,若x0=0,则有:比较泰勒级数和泰勒公式:即

5、泰勒级数收敛于f(x).此时必须泰勒级数的前n+1项四、泰勒级数⑵函数展开成幂级数的充分必要条件定理特别地,若x0=0,则有:称f(x)在x=0点展开成麦克劳林级数四、泰勒级数四、泰勒级数构造泰勒级数作业：习题11-4（P473）3⑴⑵.