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《常数项级数的概念与性质(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、infiniteseries第11章无穷级数2为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,?无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表).级数来分析问题,也常用无穷3常数项级数的概念收敛级数的基本性质柯西审敛原理小结思考题作业第11章无穷级数constantterminfiniteseries11.1常数项级数的概念和性质4引例依次作圆内接正边形,这个和逼近
2、于圆的面积A.即设a0表示内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正一、常数项级数的概念用圆内接正多边形面积逼近圆面积.边形面积为51.级数的定义(常数项)无穷级数一般项如以上均为(常)数项级数.(1)6这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.(1)从无限到有限,再从有限(近似)到无限(精确)7部分和数列可能存在极限,
3、也可能不存在极限.定义11.1则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).(不存在)存在当n无限增大时,部分和数列sn有极限s,如果sn没有极限,8对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差为9例而所以,的部分和级数级数发散.10解(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.级数收敛;因为所以11级数发散;级数发散;级数发散.综上:级数变为因为所以所以12解例判定级数的收敛性.因为所以13其余项为即所以所以级数收敛
4、,14例因为后式减前式,得证证明级数并求其和.收敛,15故所以,此级数收敛,且其和为2.的部分和分别为则于是也不存在极限.证性质11.1设常数则有相同的敛散性.所以,有相同的敛散性.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.二、收敛级数的基本性质1617讨论级数的敛散性.解例因为为公比的等比级数,是以故级数收敛;级数发散.18性质11.2设有两个级数发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.19例都收敛.无穷递减等比数列
5、的和20都发散.但级数收敛.例若两级数都发散,不一定发散.21将级数的前k项去掉,的部分和为级数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两所得新级数性质11.3添加、去掉或改变有限项不影响证一个级数的敛散性.推论11.2在级数中添加、去掉或改变有限项不影响一个级数的敛散性.22性质11.4设级数收敛,在此收敛级数内可以任意加(有限个或无限个)括号,①一个级数加括号后所得新级数发散,注则原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,
6、则根据性质11.4,收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.收敛于原级数的和所得新级数仍要强调的是,收敛级数一般不能去掉无穷多个括号;发散级数一般不能加无穷多个括号.(这个性质也称无穷和的结合律).23性质11.4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和数列为原级数部分和数列的一个子数列,因此必有例如证24证此定理是级数收敛的必要条件.设则所以定理11.5则注(1)此定理常用来判别级数发散;(3)此定理是必要条件而不是充分条件.(2
7、)也可用此定理求或验证极限为“0”的极限;即如调和级数但级数是却是发散的.(后面将给予证明)25例判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路26解由于发散解由于发散27解而级数所以这个等比级数发散.由性质11.1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.由性质11.2知,28练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:三、柯西审敛原理（柯西准则）定理11.6(判别级数收敛性的柯西收敛原理)有证设所给级数部分
8、和数列为sn由判断数列收敛性的柯西准则知,对于任意正整数p,柯西收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是:有数列{sn}收敛的充要条件是:有29显然,可改写为当有有30利用柯西收敛原理证明调和级数发散.例证考虑此级数的一段显然,这说明:不论n多么大,调和级数的这一段的绝对值都不可能任意小,由柯西收敛原理得知,调和级数发散.柯西收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是:有31利用柯西收敛原理判定级数例解的收敛性.因对任意正整数p,都有32有对于任意正整数p,按柯西收敛原理,所以取正整数成立.柯西收敛准则数
