常数项级数的概念与性质(VII)

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1、第九章无穷级数1公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，……如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是，这

2、种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论——阿基里斯与乌龟2第一节常数项级数的概念与性质无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.一、级数的基本概念计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积31.级数的定义——(常数项)无穷级数部分和数列级数的部分和一般项42.级数的收敛与发散5解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.6发散发散综上所述,7公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：如

3、果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟仍然前于他10米，……如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是，这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？齐诺悖论——阿基里斯与乌龟8如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这

4、个悖论就会不攻自破.910解例2讨论无穷级数的收敛性.11解例3所以级数发散.所以12证例4证明调和级数发散于是矛盾，假设调和级数收敛，其和为S.13二、级数的基本性质也收敛,且有性质1性质214说明：证矛盾.15性质3去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).性质4若一级数收敛，则任意加括号后所得级数仍收敛,且其和不变.注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.例如例如，则级数且和不变.16（级数收敛的必要条件）证明性质517说明：1.如果级数的一般项不趋于零,

5、则级数发散.级数发散；级数发散.182.必要条件不充分.但级数发散.再如调和级数19例5判断下列级数的敛散性：因为都收敛，故原级数收敛，解且和为20例5判断下列级数的敛散性：收敛；发散.21解*例6由性质3，由性质2，所以注意：不能去括号22由性质2，所以于是解*例623练习：P251习题七24