常微分方程的数值解法(VII)

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1、第九章常微分方程的数值解法§9.1欧拉（Euler）方法§9.2改进的欧拉方法§9.3龙格－库塔（Runge-kutta）方法§9.4步长的自动选择※实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。※常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。※本章讨论常微分方程的数值解法引言※本章讨论一阶常微分方程的初值问题——9.1——9.2虽然求解常微分方程有各种各样的解

2、析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，大量从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。★定义：所谓数值解法，就是寻求初值问题上的近似值相邻两个节点间的距离称为步长。※今后如不特别申明，总假定步长h为定数。一、几何解释：图9－1欧拉法的几何解释§9.1欧拉（Euler）方法二、计算格式：1、公式推导：2、几何意义：3、计算格式：——9.3♀欧拉（Euler）法（也叫欧拉折线法）是最古老的一种数值解法，它体现了数值方法的基本思想，但精度很低，单独用它来作计算往往不能满足精度要求。§9.2改进的欧拉方法※同一种计算格式往往可以通过多种途径构造出来，本节与下一节就会看到这一点。

3、一、计算格式：1、公式推导：将方程（9.1）的两端同时积分，——9.4※选择不同的近似方法计算这个积分项会得到不同的计算格式。例如：用矩形公式计算积分项代入（9.4）得这样建立起来的格式就是欧拉法的计算格式（9.3）。用矩形公式求积分值很粗糙，故欧拉格式精度也很低。为了改进精度，我们改用梯形法计算左端积分将其代入（9.4）得——9.5（9.5）式被称为解常微分方程的梯形法则。※格式（9.3）与（9.5）有本质上的区别，欧拉格式（9.3）是个直接的计算公式，这类格式称作显式的。这个方程可以用迭代法求解（参看第五章），不过计算量比较大。2、预报－校正系统：综合使用上述两种格式，先用欧拉格式

4、，求得一个称为预报值。这样建立起来的预报－校正系统称为改进的欧拉格式。3、改进的欧拉格式：——9.6格式（9.6）的每一步需要两次调用函数f，它可以改写成下列形式：二、算法与流程图：1、算法分析：欧拉法每一步只需对f调用一次，而改进的欧拉法则不然，需对f调用两次，其计算量比欧拉法增加一倍，付出这种代价的目的是为了提高精度。由此可见，它比欧拉格式的截断误差提高了一倍。2、流程图：（略）3、C－源程序：#include#include#defineH0.1#defineN10floatf(x,y)floatx,y;{return(y-2*x/y);}mai

5、n(){floatx0=0;floaty0=1;floatx1,y1;floatyp,yc;floath=H;inti;for(i=1;i<=N;i++){x1=x0+h;yp=y0+h*f(x0,y0);yc=y0+h*f(x1,yp);y1=(yp+yc)/2;printf("x=%f,y=%f",x1,y1);x0=x1;y0=y1;}}［例］［解］解初值问题我们分别用两种格式进行计算，这里欧拉格式的具体形式是而改进的欧拉格式是计算结果见下表：同准确解比较，第二列欧拉格式的结果大致只有两位有效数字，而第三列改进的欧拉格式的结果则有三位有效数字。结点欧拉法改进欧拉法准确解00.

6、10.20.30.40.50.60.70.80.91.011.11.1918181.2774381.3582131.4351331.5089661.5803381.6497831.7177791.7847711.0959091.1840971.2662011.343361.4164021.4859561.5525141.6164751.6781661.73786711.0954451.1832161.2649111.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051§9.3龙格－库塔(Runge-kutta)方法※最常用的是四阶

7、的龙格－库塔格式，但推导极为繁琐，我们以二阶为例，说明其思想方法。一、二阶龙格－库塔法：1、基本思想：设初值问题：对差商——9.7平均斜率。由此得知，只要对平均斜率提供一种算法，由（9.7）式便相应地得到一种计算格式。♀欧拉格式：♀改进的欧拉格式：由于仅取一个点，所以精度很低。※这就是龙格－库塔方法的基本思想1、二阶龙格－库塔法：（同改进欧拉法）这样设计出的计算格式：——9.8我们希望适当选择参数的值，代入（9.8）知和二阶泰勒展开式比较系数即