常微分方程数值解法(II)

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1、常微分方程的数值解法NumericalSolutionstoOrdinaryDifferentialEquations对象一阶常微分方程初值问题:一阶常微分方程组初值问题:高阶常微分方程初值问题:(4.1)一阶常微分方程初值问题:实际工程技术、生产、科研上会出现大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示，因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。abx0x1x2...xn-1xn用数值方法，求得y(x)在每个节点xk的值y(xk)的近似值，用yk表示，即yk≈y(xk)，这样y0,y1,...,yn称为微分方程的数值解求y(x)——

2、——>求y0,y1,...,yn？微分方程的数值解法：不求y=y(x)的精确表达式,而求离散点x0,x1,…xn处的函数值设(4.1)的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，取[a,b]内的一系列节点x0,x1,...,xn。a=x0

3、)过点P0(x0,y0)且在任意点(x,y)的切线斜率为f(x,y)y(x)在点P0(x0,y0)的切线方程为：y=y0+f(x0,y0)(x-x0)在切线上取点P1(x1,y1)y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)y1正是Euler公式所求4.类似2，过P1以f(x1,y1)为斜率作y(x)的切线，在其上取点P2(x2,y2)，依此类推…5.折线P0P1P2…Pn…作为曲线y(x)的近似——欧拉折线法xp0p1p2p3p4x0x1x2x3x4yy(x)思想:用向后差商近似代替微商.欧拉法（续）用隐式欧拉法，每一步都需解方程（或先解出yn+1的显式表达

4、式），但其稳定性好。隐式欧拉公式(4.3)整体误差ek=y(xk)-yk，下面对其加以分析y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1×(1-0/1)=1.1y2=y1+hf(x1,y1)=1.1+0.1×(1.1-2×0.1/1.1)=1.191818y3=y2+hf(x2,y2)=1.277438…其精确解为欧拉法（续）思想:用中心差商近似代替微商.注：计算时，先用欧拉法求出y1，以后再用二步欧拉法计算。二步欧拉法(4.4)欧拉法（续）公式单步否显式否单步显式单步隐式二步显式截断误差y(xn+1)-yn+1截断误差Def4.1设y(xn)是(4.1)式的精

5、确解，yn是(4.2)式欧拉法得到的近似解，称y(xn)-yn为欧拉法的整体截断误差.Def4.3若某算法的局部截断误差为O(hp+1),称该算法有p阶精度.Def4.2假设yn=y(xn),即第n步计算是精确的前提下,称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为欧拉法的局部截断误差.分析：证明其局部截断误差为O(h2),可通过Taylor展开式分析。证明：Euler公式为令yn=y(xn)，下证：y(xn+1)-yn+1=O(h2)由y’(x)=f(x,y(x))定理4.4欧拉法的精度是一阶。二步欧拉法的局部截断误差Def4.5假设yn=y(xn),yn－1=y(

6、xn－1),称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为二步欧拉法的局部截断误差.定理4.6隐式欧拉法的精度是一阶,二步欧拉法的精度是二阶。证明：对二步欧拉法进行证明，考虑其局部截断误差，令yn=y(xn),yn－1=y(xn－1),将上两式左右两端同时相减：∴二步欧拉法的局部截断误差为O(h3)，其精度是二阶。数值积分法对右端的定积分用数值积分公式求近似值：（1）用左矩形数值积分公式：（2）用梯形公式：——梯形公式梯形公式:将显示欧拉公式,隐式欧拉公式平均可得梯形公式是隐式、单步公式,其精度为二阶证：令yn=y(xn),由Talor公式有分析：梯形公式是隐式公

7、式，证明其局部截断误差为O(h3)要用到二元函数的Taylor公式。f(xn+1,yn+1)=f(xn+1,y(xn+1)+(yn+1-y(xn+1))=f(xn+1,y(xn+1))+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1))，η∈(xn，xn+1)=y’(xn+1)+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1))=y’(xn)+hy”(xn)+O(h2)+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1))=f(xn,yn)+hy”(xn)+fy(xn+1,η)(yn+1-y(xn+1))+O(h2)又y(xn+1)=y(xn+h)=y(xn)+hy’

8、(xn)+h2y”(xn)/2+O(h