导数的应用洛必达法则(11级

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1、导数的应用一、洛必达法则二、函数的单调性与曲线的凹凸性三、函数的极值与最大值最小值洛必达法则二、其他未定式引在求极限时，有时会遇到两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，这类极限有的存在，有的不存在，通常称这种类型的极限式为未定式，简记为型或型.如何计算这种未定式呢？一、解法：洛比达法则例如,如果当xa(或x)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限一、存在(或为)定理1.(洛必达法则)例1求解这是型未定式,故原式=说明1.定理1中换为之一,说明2.若满足洛必达法则,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.对洛必达法则的两点说明：例3解

2、例4求解例5求解=0.例6解使用洛必达法则的几点注意:例如,事实上用洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.2)洛必达法则与其他求极限的方法，比如等价无穷小代换，结合使用效果会更好.例7求解先对分母使用等价无穷小，x2sinx~x3例8解例9求解这是型未定式,故3)例如,极限不存在不能用洛必达法则!即必须是未定式才可使用洛必达法则！4)若例如,使用洛必达法则的几点注意:二、其他未定式若limu(x)=1,limv(x)=,则称极限式limu(x)v(x)为1型未定式,此外还有0型和00型等未定式.这些未定式求值时不能直接使用洛比达法则，若l

3、imu(x)=,limv(x)=,则称极限式limu(x)-v(x)为-型未定式.若limu(x)=0,limv(x)=,则称极限式limu(x)v(x)为0·型未定式.但可以利用通分、取对数等初等方法将其化成例1解原式=“通分”洛洛例2.解：解:原式例3.求洛洛例4求解“倒代换”“通分”例5求解这是0·型未定式,可化为则“取倒数”（0·）洛例6求解原式是幂指函数，时，它是未定式。利用恒等变形将其变为复合函数：是类型的未定式。“取倒数”洛例7解：幂指函数恒等变形洛例8幂指函数解：恒等变形原式=洛对于型未定式还有一种解法，即利用重要极限二。此外还可以利用如下方

4、法：若limu(x)=1,limv(x)=,则称limu(x)v(x）为1型未定式。恒等变形等价无穷小即例8解法2：原式=洛小结：洛必达法则是针对步骤:即将其中一个因子下放至分母就可转化为步骤:即采用通分的方法将其转化.步骤:通分转化取倒数转化恒等变形转化总结：作业P1171(1),(4),(5),(12),(17),(20),(24),(27)