微分中值定理和导数的应用42洛必达法则

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1、《高等数学》课件(第四章第二节)4.2洛必达(L’Hospital)法则在求一些特殊类型的极限时,其结果呈现不确定性,我们称这些类型的极限为不定式.如:f(x)0,g(x)0,称极限,为型;f(x),g(x),称极限,为型;f(x)0,g(x),称极限limf(x)g(x),为0型;f(x),g(x),称极限lim(f(x)g(x)),为型;f(x)0,g(x)0,称极限lim(f(x))g(x)称为00型;f(x),g(x)0,称极限lim(f(x))g(x)为0型;f(x)1,g(x),称极限lim(f(x))g(x)为1型.《高

2、等数学》课件(第四章第二节)4.2.1关于型及型不定式的洛必达法则定理4-4(L’Hospital洛必达法则)如果f(x)和g(x)满足下列条件:(1)在x0的某一去心邻域内可导,且g(x)0;则《高等数学》课件(第四章第二节)证明补充定义f(x0)=g(x0)=0,则f(x),g(x)在区间[x,x0]和[x0,x]上满足Cauchy中值定理的条件,由Cauchy定理,在x0,x之间存在,使得令xx0,必有x0,从而注1将条件(2)换为定理的结论仍然成立.《高等数学》课件(第四章第二节)注2对于和型的极限,当极限过程为x0,xx0+,x,x,x+,定理的结论仍然

3、成立.注3当极限不存在时,不能断定极限不存在,需用其他方法讨论极限.注4对于和型数列极限不能直接应用罗必达法则.《高等数学》课件(第四章第二节)例1求解《高等数学》课件(第四章第二节)例2求解对指数函数ax(a>1),幂函数x(>0)和对数函数(logbx)(b>1,>0),当x+时,它们都趋于正无穷,例2表明,指数函数是比幂函数高阶的无穷大,同样,幂函数是比对数函数高阶的无穷大.《高等数学》课件(第四章第二节)例3求解这是型的极限,但极限不存在,所以不能使用罗必达法则.但可用其它方法求极限.其中第一个等式使用等价无穷小替换,第二个等式应用无穷小量与有界变量的乘积.《高等数学》课件

4、(第四章第二节)例4求解注当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零,则可将其单独求出.《高等数学》课件(第四章第二节)例5求解《高等数学》课件(第四章第二节)例6求解《高等数学》课件(第四章第二节)4.2.2其他类型的不定式0型不定式,可通过以下方式转化为或型不定式,《高等数学》课件(第四章第二节)解例7求《高等数学》课件(第四章第二节)例8求解注将0型极限转换为或型极限求解时,要根据具体情况来确定,避免将问题弄复杂,甚至无法解出．《高等数学》课件(第四章第二节)型的不定式通常可经过通分转换为型不定式.例9求解《高等数学》课件(第四章第二节)对于00,0,1型的不定式,可通过

5、指数函数与对数函数的关系转化为0的极限,00e0ln0,0e0ln,1eln1.例10求解《高等数学》课件(第四章第二节)所以其中《高等数学》课件(第四章第二节)例11求解其中所以《高等数学》课件(第四章第二节)例12解《高等数学》课件(第四章第二节)其中所以《高等数学》课件(第四章第二节)函数渐近线讨论.若xa或xa+时,f(x),则称x=a为函数f(x)的铅直(垂直)渐近线.函数可能没有铅直渐近线,也可能有多条垂直渐近线.若x或x+时,f(x)A,则称y=A为函数f(x)的水平渐近线.函数最多有两条水平渐近线.xyO《高等数学》课件(第四章第二节)

6、若成立,则称直线y=ax+b是函数y=f(x)的斜渐近线.当y=ax+b是y=f(x)的斜渐近线时.由得所以Oyx《高等数学》课件(第四章第二节)例13试用洛必达法则求曲线的斜渐近线.所以,曲线的斜渐近线为y=x解由xy《高等数学》课件(第四章第二节)单元测试1.求下列极限:《高等数学》课件(第四章第二节)2.若f(0)0,f(x)在x0的邻域内连续,且f(0)0,试求3.求曲线y的水平与铅直渐近线.