一次函数、反比例函数与二次函数应用的综合探究

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1、26.3.1一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用题教学目标：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程。2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点：二次函数在最优化问题中的应用。教学难点：从现实问题中建立函数模型。教学设计：一、创设情境、提出问题给你一根长8m的铝合金条，试问：(1)你能用它制成一矩形窗框吗?(2)怎样设计，窗框的透光面积最大?(3)如何验证?说明：解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再求这个函数关系式的顶

2、点坐标，即得最大值．二、自主探究、合作交流探究一：某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出。据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个。若销售单价每降低1元，每月可多售出2个。据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如表所示关系。（1）写出月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式。（2）求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式。（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几。（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销

3、售单价最低为多少元。（5）该厂如何确定销售单价x，能使月利润W最大？此时，月销售量y与固定成本Q分别是多少？解：（1）设月产销量与销售单价之间的函数关系式为y=2（280-x）+300=-2x+860（2）观察题中表格可知两个变量的乘积Q×y=9600为定值，所以。（3）将Q=30代入，得，则y=320。将y=320代入y=-2x+280，得-2x+280=320，则x=270。因为，所以玩具的固定成本为30元时，固定成本占销售单价的。（4）当y≤400时，，即。当y≤400时，，即。故若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为24元，销售单价最低

4、为230元。（5）W=y（x-Q）=xy-Qy=x(-2x+860)-9600=-2(x-215)²+82850∵a=-2＜0∴当x=215时，最大值W=82850（元），此时y=430（个），Q≈22.3（元）探究二：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？T：（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况：设每件涨价x元，则每星期售出的商

5、品利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖10x件，销售量可表示为：销售额可表示为：买进商品需付：所获利润可表示为：∴当销售单价为元时，可以获得最大利润，最大利润是元．思考：（1）怎样确定x的取值范围？（2）在降价的情况下，最大利润是多少？三、小结：解这类问题一般的步骤：（1）_______________________________；（2）________________________________。四、例练应用，解决问题例：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多

6、少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？变式：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0．01米）五、巩固练习1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只且每日生产的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R、P与x的关系分别为R=500+30x，P=170－－2x．(1)当每日产量为多少时，每日获得利润为1750元?(2)当每日产量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少?六、作业布置1.某农场要盖一排三间长

7、方形的羊圈，打算一面利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长为24m的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x(m)，三间羊围的总面积为S(m2)，则S与x的函数关系式是________________，x的取值范围是________________，当x=________________时，面积S最大，最大面积为________________．