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时间：2019-08-01
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1、齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程第七章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)此处例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.由光的反射定律:可得OMA=OAM=例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:
2、将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，从而AO=OMxOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性而AO于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)顶到底的距离为h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得作业(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可
3、分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程例4.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:作业P3091(1),(4),(6);2(2),(3);3;*4(4)第四节
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