齐次线性方程.docx

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1、第三节一阶线性微分方程§3.1一阶线性微分方程形如＋p(x)y＝q(x)(3.1)的方程称为一阶线性微分方程。这是因为方程(3.1)关于未知函数及导数是一次(线性)的，其中p(x)，q(x)是某一区间(a,b)上的连续函数。特别，当q(x)≡0时，方程(3.1)成为＋p(x)y＝0(3.2)这个方程称为一阶线性齐次方程(这里所以称“齐次”，是因为y′与y是齐一次的与上节的“齐次”意义不一样)而(3.1)称为一阶线性非齐次方程。线性齐次方程(3.2)是可分离变量的方程，可写成＝－p(x

2、)y或＝－p(x)dx两边积分得到ln｜y｜＝－∫p(x)dx＋ln｜C｜即其通解为y＝Ce－∫p(x)dx这里任意常数C也可以等于零，因为y≡0也满足方程。对于非齐次方程(3.1)，其左边与对应的齐次方程(3.2)的左边完全一样，而其右边的差异仅是q(x)不是O，齐次方程(3.2)可以看成非齐次方程的特殊情况，故齐次方程的通解也应是齐次方程通解的特殊情况。如何求其通解呢?我们先分析一个例题。例1.求方程＋y＝2的通解。解这是一阶线性非齐次方程，不能用分离变量法求解，但其对应的齐次方

3、程＋y＝0的通解y＝Ce－∫p(x)dx＝Ce＝显然它不可能是所求非齐次方程的解，但是所求方程的解可以通过将y＝中的任意常数C换成某个x的函数u(x)进行运算而得到。为此我们设y＝是所求非齐次方程的解，其中u(x)为待定函数。将y＝求导得＝代入所求方程中，得＋＝2化简为u′(x)＝２x因此求得u(x)＝∫2xdx＝x2＋C其中C为任意常数，将u(x)＝x2＋C代y＝便得y＝可以验证y＝是所求方程的解。由于解中含有一个任意常数C，所以它是所求方程的通解。上述这种解法对于一般的线

4、性非齐次方程＋p(x)y＝q(x)也是适用的，即先求对应齐次方程＋p(x)y＝0的通解y＝Ce－∫p(x)dx再将上式中的任意常数C换为待定函数u(x)，即y＝u(x)e－∫p(x)dx对其关于x求导数＝u′(x)e－∫p(x)dx＋u(x)e－∫p(x)dx(－p(x))将，y，代入非齐次方程得u′(x)e－∫p(x)dx－p(x)u(x)e－∫p(x)dx＋p(x)u(x)e－∫p(x)dx＝q(x)化简为u′(x)e－∫p(x)dx＝q(x)即u′(x)＝q

5、(x)e∫p(x)dx积分得u(x)＝∫q(x)e∫p(x)dx＋CC为任意常数于是得到一阶线性非齐次方程的通解为y＝e－∫p(x)dx［∫q(x)e∫p(x)dxdx＋C］(3.3)上述这种方法，即将对应的齐次方程通解中的任意常数C，换成待定函数u(x)，以求非齐次方程通解的方法称为常数变易法。由公式(3.3)还可以看出，一阶线性非齐次方程的通解可以写成两项与Y的和即y＝＋Y其中＝e－∫p(x)dx∫q(x)e∫p(x)dxdxY＝Ce－∫p(x)dx前者相当于(3.

6、3)中C＝0的情形，因而它是非齐次方程的一个特解，后者是对应的齐次方程的通解，于是有以下结论：一阶线性非齐次方程的通解是其本身的一个特解与对应的齐次方程的通解之和，以后还会看到这个结论对高阶线性非齐次方程亦成立。例2.求方程－y＝2x2的通解。解法1该方程是一阶线性非齐次方程这是p(x)＝－，q(x)＝2x2由公式(3.3)得y＝e(∫2x2edx＋C)＝由于C是任意常数，可见这两个式是一样的，所以通解为y＝x3＋Cx由这个例子可以看出，在解微分方程时，当对数出现在e的指数当中，可以不

7、必在对数内部取绝对值。解法2先求对应的齐次方程－y＝0的通解，y＝Cx用常数易法。设y＝u(x)x，则＝u(x)＋xu′(x)，代入原方程得u(x)＋xu′（x）－u(x)＝2x2即u′(x)＝2x，得u(x)＝x2＋C，得非齐次方程的通解y＝x3＋CxEae从以上例子我们可以看到，对于求解一阶线性非齐次方程可以用常数变易法解，也可以直接用公式解。例3.如图6－1表示一个由电动势E，电阻R和电感L串联而成的电路，求电路中的电流。图6-1解当开关K闭合时，电路中将有电流通过，用Ｉ＝I(t)

8、表示电流。由电学知识知道，电阻R上的电压降为RI，电感L上的电压降为L，根据克希霍夫第二定律，闭合电路中，外加电压(或电势差)等于电路中其余部分的电压降之和，于是可得到微分方程。L＋RI＝E这是一个线性非齐次方程，其通解为I＝e［∫etdt＋C］当外加电压E是常量时，用I0＝I(0)表示t＝0时的初始电流，此时C＝I0－，得到特解I＝＋(I０－)e这说明电路中的电流与初始电流I0及有关，若I0＝，则不出现指数项，且电流是常量I＝；若I0＞，指