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1、二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)反常积分一、无穷限的反常积分引例.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:解.3.例题例1计算广义积分.这个广义积分值的几时，图5－7中阴影部其面积却有极限值1.分向左无限延伸，但何意
2、义是,当图5－7例2.计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.解极限不存在是发散的例3计算广义积分.若认为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数，得出结果为零，计算就错了.例4.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.例5.计算反常积分解:二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上
3、述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?下述解法是否正确:,∴积分收敛例1.计算反常积分解:显然瑕点为a,所以原式例2.讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.例3计算广义积分.解因为，所以是
4、瑕点，而，所以发散..注：若按定积分计算（不考虑是瑕点),就会导致以下的错误.证例5计算广义积分解故原广义积分发散.例6计算广义积分解瑕点例7考察广义积分的敛散性.解是瑕点，积分区间是无穷区间，当时收敛，当时发散；当时收敛，当时发散.则广义积分发散.内容小结1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2.两个重要的反常积分说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.备用题试证,并求其值.解:令
