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1、第五章一元函数积分学不定积分(第四章)定积分定积分概念、计算应用(第六章)1二、定积分的定义第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例三、可积的充分条件四、定积分的性质第五章五、小结2一、定积分问题举例矩形面积梯形面积1.曲边梯形的面积由连续曲线以及两直线所围成的图形称为曲边梯形.求曲边梯形的面积A.3在上连续变化.曲线误差2.分析4说明分割越细,误差越小.误差越小(用窄矩形面积近似代替窄曲边梯形面积.)51)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)局部近似在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,以
2、为高的窄矩形,并以此窄炬形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得由以上分析,我们得到计算曲边梯形面积的具体步骤：(常代变)(整体分为局部和)63)求和4)取极限令则有(整体近似)(由近似到精确)7(2)变速直线运动的距离.匀速直线运动:速度是时间t的连续函数分析:变速直线运动：..内运动的距离s在时间间隔8用任意一组分点则第i个小区间的1)分割(大化小)用类似的方法解决如下：将时间区间分成n个小区间,长度为:2)近似代替(以不变代变)得第i个小区间上物体经过的路程为93)求和4)取极限上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割，近似
3、代替，求和,取极限.”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限10二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的值I,则称此极限值I为函数在区间上的定积分,即记作(P225)11积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和引例1.曲边梯形面积引例2.变速直线运动的路程注意：积分变量的变化区间是积分区间.12特别地，13即:当和的极限存在时,其极限值I仅与变量的记法无关,注和积分区间有关,被积函数的分法无关,也与点的取法无关.如果在上可积，则积分值与区间(1)(2)而与积分对定义的几点说明14求极限的过程是：而不是：15曲边梯形面积.曲边
4、梯形面积的负值.定积分的几何意义16定积分的几何意义各部分面积的代数和.17三.可积的充分条件定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)1)对可积函数变动有限个点的值,可积性不变,积分值不变.2)定理的条件不是必要条件.注(存在定理)18取例1利用定义计算定积分解将[0,1]n等分,分点为19注20[注]得两端分别相加,得即利用21例2解题型：利用定积分的定义求极限.22四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证=右端定积分的 线性性质23证当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是积分区间可加性24当a
5、,b,c的相对位置任意时,例如则有256.若在[a,b]上则证推论1.若在[a,b]上则(比较性质)保号性保序性26解令于是27推论2.证:即7.设则积分上下界的估计28解29例5试证:证设则在上,有即故即308.积分中值定理则至少存在一点使证则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.31说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因32解由积分中值定理知有使33例7计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解已知自由落体速度为故所求平均速度34五、小结1．定积分的实质：特殊和式的极限．2．定积分的
6、思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分以直(不变)代曲(变)取极限近似353．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题(1)估计积分值；(2)不计算定积分比较积分大小．36
