定积分与微积分基本定理(IV)

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1、第十六讲定积分与微积分基本定理走进高考第一关基础关教材回归1.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上________,当n→∞时,和式无限接近________,________叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作________,即________,a,b分别叫做________与________,区间[a,b]叫做________,函数f(x)叫做________,____x____叫做积分变量,_f(x)dx_______叫做被积式.连续某个常数这个常数积分下限积分上限积分区间被积函数对定义的几点说明:(1)定积分是一个常数.(2)用定义求

2、定积分的一般方法是:①__分割______:n等分区间;②________:取点ξ_i∈[x_i-1,x_i];③________:④________:近似代替求和取极限(3)定积分的几何意义:如果f(x)在上连续且恒有f(x)≥0,那么定积分表示__________________________________________________________________________________.(4)定积分的性质①=________(k为常数);②=______________;③=___________________(其中a

3、f(x)所围成的曲边梯形的面积区间叠加注意:(1)定积分的性质,其含义有两层,如性质②.若定积分存在,则定积分存在且(2)定积分性质②可推广到任意有限个函数的情况.2微积分基本定理.一般地,如果f(x)在区间上连续,且F′(x)=f(x),那么=________.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.也可表示为=________.注意:(1)①用定义求定积分的方法:分割､近似代替､求和､取极限,要借助于求曲边梯形的面积､变力作功等案例,体会定积分的基本思想方法.②用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数

4、的原函数,利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).③利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分.④利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限.(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法:①由三条直线x=a、x=b(a

5、f(x)､y=g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积:(如图).考点陪练1.下列等式成立的个数是()①②③A.0B.1C.2D.3lim解析:本题仅③正确.答案:B评析:本题考查定积分的定义.2.下列值等于1的积分是()A.B.C.D.解析:而其他选项的值都不是1.答案:C3.的值是()A.0B.C.2D.4答案:C4.已知自由落体的速度为v=gt,则落体从t=0到t=t_0所走过的路程为()A.B.C.D.解析:答案:C5.曲线与坐标轴围成的图形的面积是()A.2B.3C.D.4解析:答案:B解读高考第二关热点关类型一:求定积分解题准备:定积分

6、的概念是微积分的基本概念之一,也是用积分解决实际问题的基本方法.它主要包括:分割､近似代替､求和､取极限四环节,其中关键环节是求和,定积分定义体现的是先分后合,化曲为直.此外,在计算定积分时还要很好地理解“和式的极限”的含义.典例1.求下列定积分:(1)(2)(3)[分析]先由定积分的性质将其分解成简单的定积分,再利用牛顿—莱布尼兹公式求解.类型二:定积分的几何意义解题准备:求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤.(1)画出图形;(2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分的上、下限;(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上,下位置;(4)写出

7、平面图形面积的定积分的表达式;(5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.[探究]一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度(1)紧急刹车多久车停住;(2)紧急刹车后火车的路程.[答]12s后火车停止,此时行驶115m.[评析]本题求变速运动的路程s,其本质是速度函数在某区间上的定积分.类型三:定积分的综合应用解题准备:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:①画出图形;②确定被积函数;③确定积分的上､下限,并求出交点坐标;④运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.典例3.已知二次函数满足f(0)=f(1)=0,且f