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1、复求和定理和复智能程序及智能公式系统徐庆和(北京大学数学科学学院数学与应用数学实验室,北京100871)摘要�本文建立了复求和定理�复交错智能程序系统和智能公式系统�以及它们的相应的智能计算系统和测试系统�并使用图示的方法,显示它们的规律。运用它们可以研究复变函数及连续函数之间的联系�以及复函数及实函数的一系列性质等等。1.引理和定义为方便下面定理的证明,先给出复的几何级数的引理和有关定义�定义1设f(z)是解析函数,n∈N,z∈C,{f(z)}是解析函数序列,f(z)≠0。nnnf(z)f(z)f(z)23n==...=q
2、(z).f(z)f(z)f(z)如果12n−1则{f(z)}称为复几何级数(函数级数)。nn引理设{f(z)}是解析函数f(z)的复几何级数,设q(z)≠1,S=f(z)。则nnn∑ii=1nf(z)(1−q(z))1S=n1−q(z)2复求和定理下面我们建立复求和定理�定理1设k�n∈N�且n为偶数�z,z,......,z为非零复数�且12nd=z−z=z−z=z−z=......=z−z,则213243nn−1nkiz(n+1)izj+1kde−e∑(−1)(ji)=lim[]kizj=1z−>0dz1+e定理2设k�
3、n∈N�且n为奇数�z,z,......,z为非零复数�且12nd=z−z=z−z=z−z=......=z−z,则213243nn−1nkiz(n+1)izj+1()kde+e∑(−1)ji=lim[]kizj=1z−>0dz1+ez,z,......,z定理3�徐庆和复和数定理�设k�n∈N�12n为非零复数�且z−z=z−z=z−z=......=z−z,213243nn−1则ndkez[n(z2−z1)+z1]−ez1zk∑zj=limk[z(z2−z1)]j=1z−>0dze−13复智能程序系统和智能公式系统(1)
4、复智能程序系统和智能公式系统设z=1+2i,d=4i。我们有下面的复智能程序�f[k1_]1。1通过运行上面f[k1_]1�有下面的公式系统:(1+2i)+(1+6i)+(1+10i)+...+(1+2i+(n−1)4i)=n(1+2in)Log[e]222212222(1+2i)+(1+6i)+(1+10i)+...+(1+2i+(n−1)4i)=n(3−4i+12in+16in)Log[e]333332223(1+2i)+(1+6i)+(1+10i)+...+(1+2i+(n−1)4i)=n(1+2in)(1−4i+4i
5、n+8in)Log[e]等等。�2)复交错智能程序系统和智能公式系统(a)设n为偶数�我们有下面的复智能程序�f[k1_]2。通过运行上面f[k1_]2�我们有下面的公式系统:n−11i−2i+3i−...+(−1)ni=−inLog[e]2222n−12122i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=−in(1+n)Log[e]2333n−131323i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=−in(3+2n)Log[e]4444n−141424i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=−in(1+
6、n)(−1+n+n)Log[e]2555n−15152235i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=−in(−5+5n+2n)Log[e]4666n−16162346i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=−in(1+n)(3−3n−2n+2n+n)Log[e]2等等。(b)设n为奇数�我们有下面的复智能程序�f[k1_]3。通过运行上面f[k1_]3�我们有下面的公式系统:n−11i−2i+3i−...+(−1)ni=i(n+1)Log[e]2222n−12122i−(2i)+(3i)−...+(−1)
7、(ni)=in(1+n)Log[e]2333n−131323i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=i(1+n)(−1+2n)Log[e]4444n−141424i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=in(1+n)(−1+n+n)Log[e]2555n−15152235i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=i(1+n)(2−4n+n+2n)Log[e]4666n−16162346i−(2i)+(3i)−...+(−1)(ni)=in(1+n)(3−3n−2n+2n+n)Log[e]2等等。事
8、实上�我们的求和定理�是在对任意自然数n的情况下得到证明�因此定理右边的智能计算公式,对任意自然数n都成立。4复数和公式系统的测试�1�设d=i,k=4,a=i+1,m=15我们有下面复数和公式的智能测试程序f[m_,k_]1。通过运行上面f[m_,k_]1�我们有下面的计算结果�(1+i
