复化梯形公式及复化辛普森公式的精度比较

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1、..WORD.格式整理..实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较（2学时）一、实验目的与要求1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理；2、熟悉并掌握二者的余项表达式；3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两者的精度；4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。二、实验内容：对于函数，试利用下表计算积分。表格如下：01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.9088516

2、0.87719250.8414709注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值。三、实验步骤1、熟悉理论知识，并编写相应的程序；2、上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好；3、得出结论，并整理实验报告。四、实验注意事项..专业.知识.分享....WORD.格式整理..1、复化梯形公式，程序主体部分：forn=2:10T(n)=0.5*T(n-1)fori=1:2^(n-2)T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-

3、1)；endend2、复化Simpson公式，程序主体部分：fori=1:10n=2.^ix=0:1/n:1f=sin(x)./xf(1)=1s=0forj=1:n/2s=s+f(2*j)endt=0forj=1:(n/2-1)t=t+f(2*j-1)endS(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1))end五．实验内容复化梯形公式和复化辛普森公式的引入..专业.知识.分享....WORD.格式整理..复化梯形公式：；复化辛普森公式：；根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下：Matlab代码clcs=quad('

4、sin(x)./x',0,1)p1=zeros(10,1);p2=zeros(10,1);fork=6:15s1=0;s2=0;x=linspace(0,1,k);y=sin(x)./x;z=(1/(2*(k-1))):(1/(k-1)):1;sz=sin(z)./z;y(1)=1;fori=1:(k-1)s1=s1+0.5*(x(i+1)-x(i))*(y(i)+y(i+1));endforj=1:(k-1)s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j))*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j));endp1(k-5)=s1-s;p2(k-5)=s2

5、-s;endp1;..专业.知识.分享....WORD.格式整理..p2;s1=s+p1(4)s2=s+p2(4)formatlongfork=1:length(p1)p1(k)=abs(p1(k));p2(k)=abs(p2(k));endp1p2plot(6:1:15,p1,'-r')holdonplot(6:1:15,10000*(p2),'-c')holdoff部分程序结果输出：s=0.946083070076534s1=0.945690863582701s2=0.946083085384947结果分析根据结果输出可知：积分的准确值为：I=..专业

6、.知识.分享....WORD.格式整理..0.946083070076534；通过复化梯形公式和复化辛普森公式得到的积分值为：s1=0.945690863582701:s2=0.946083085384947;相对误差为：；；显然，从相对误差可知通过辛普森公式得到的结果误差小精度高。由于以上的算法只算了结点个数为9的情况，只能横向比较两公式的精确程度，而不能分别比较两公式随节点个数变化精度的变化，故而将以上程序重新编（以上程序为最终程序）可得出两公式随节点个数变化精度的变化情况所取得节点个数为从6到15，共计10种情况对应的误差值如下表：节点数678910

7、T0.0010.00070.000510.000390.00031S*100000.987620.477660.259130.153080.09666节点数1112131415T0.000250.000210.000170.000150.00013S*100000.064410.044910.032570.024440.01892（表1）注：由于辛普森公式的精度较高，所得的误差值较小不宜比较，故而将辛普森公式计算出的误差值乘上10000得到以上表1的结果，其相应的曲线图如下（图1）。..专业.知识.分享....WORD.格式整理..（图1:两误差曲线比较）

8、备注：红色，青色分别比奥斯曲线复化梯形公式和复化辛普森公式的误差值