线性代数课件112n阶行列式的定义

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1、第一章行列式一.二（三）阶行列式二.排列与逆序三.n阶行列式的定义四.行列式的性质五.行列式按行（列）展开六.Cramer法则行列式概念的形成行列式的基本性质及计算方法（定义）利用行列式求解线性方程组本章安排本章主要讨论以上三个问题。首先来看行列式概念的形成问题的提出：分析二、三元线性方程组求解过程二阶、三阶行列式的概念引出第一节二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解为便于记忆，采用记号称为二阶行列式其中，数称为二阶行列式元素为行标，表明元素位于第行为列标，表明元素位

2、于第列注：(1)二阶行列式算出来是一个数。(2)运算方法：对角线法则主对角线上元素之积－副对角线上元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为综上，令则，称D为方程组的系数行列式。例1：解方程组解：因为所以2.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组记称为三阶行列式其中，数称为元素为行标，为列标。注：(1)三阶行列式算出来也是一个数。(2)运算方法：对角线法则例：对于三元线性方程组，若其系数行列式可以验证，方程组有唯一解:其中:第二节n阶行列式的的定义定义1：由自然数1，2，······，n组成的一个有序数组称为一个n级排列

3、。例如：123455432151234421355321453124都是数1，2，3，4，5的排列。回忆：n个数的不同排列共有个。n!自然排列：按数的大小次序，由小到大排列：思考：n级排列中，自然排列只有一种除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。12345...n一、排列定义21）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。逆序数，定义3计算排列的逆序数的方法：法1：

4、n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为再看有多少个比2大的数排在2前面，记为继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，则此排列的逆序数为例1是偶排列。是奇排列。法2：n级排列的逆序数法3：例2：求排列3，2，5，1，4的逆序数。解：（法1）（法2）（法3）例3：求排列4，5，3，1，6，2的逆序数。考虑，在1，2，3的全排列中有个偶排列：有个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义4：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余

5、数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。定理1：对换改变排列的奇偶性。证明思路：先证相邻两数的对换，再证一般对换。定理2：时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个。证明：设n个数的排列中，奇排列有p个，偶排列有q个，则p＋q＝n！对p个奇排列，施行同一对换，则由定理1得到p个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）因为总共有q个偶排列，所以同理所以二.3阶行列式的规律观察三阶行列式寻找规律：1.三阶行列式是3！项的代数和。2.每一项都是取自不同行、不同列的3个元素的乘积。3.（每项的

6、符号规律）其任一项可写成：其中是123的一个排列当是偶排列时，项取正号当是奇排列时，项取负号根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义n阶行列式定义5：n阶行列式指的是n！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，其一般项为这里是12···n的一个排列当是偶排列时，项前面带正号当是奇排列时，项前面带负号三.n阶行列式的定义即其中表示对所有n元排列取和注：(1)当n=1时，一阶行列式此处不是a的绝对值，例如行列式定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些乘积

7、的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号。例4写出四阶行列式中含有因子的项。例5若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。例7计算四阶行列式例6计算行列式四个特殊行列式(1)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(2)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）(3)（显然）(4)定理3在行列式中的符号等于证明：由行列式定义可知，确定项的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的位置时，其行

8、标和列标排列的奇偶性如何变化。对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为由定理，对换改变排列的奇偶性所以，是奇数也是奇数所以是偶数，即是偶数，所以与同时为奇数或同时为偶数