计算机数学基础 何春江 第6章常微分方程

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1、6.1常微分方程的基本概念6.2一阶微分方程可降阶的高阶微分方程6.3二阶常系数微分方程6.4常微分方程的应用第6章常微分方程结束含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。定义16.1常微分方程的基本概念常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程定义在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶一阶微分方程的一般形式是二阶微分方程的一般形式是注：在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现例：定义3能使微分方程成为恒等式的函数叫做微分方程的解．其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的积分曲线．例如，是方程的一个解．我们在学习不定积分时就已经知道，

2、一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解．等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程．例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点处的切线斜率解设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题给出的条件，得又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得故所求曲线的方程为此解为该方程的通解（或一般解）．定义4若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称一阶微分方程的通解是二阶微分方程的通解是n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数．其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族．定义5如果指定通解中的任

3、意常数为某一固定常数，那么所得到的解叫做微分方程的特解．如方程的通解是而就是一个特解，这里在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的条件”而确定的．如例1中的曲线通过点（1,2），这个“预先给定的条件”叫初始条件．称为初始条件．当通解中的各任意常数都取定义6用来确定通解中的任意常数的附加条件一般得特定值时所得到的解，称为方程的特解．通常情况下，即二阶微分方程的初始条件是及即与一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，求解其初值问题就是求方程的特解．一阶微分方程的初始条件是是不是方程例2验证函数解求的导数，得代入原方程的左边，有即函数不满足原方程，所以该函数不是所给二阶微

4、分方程的解．解由得代入原方程的左边满足原方程．又因为该函数含有一个任意常数，是一阶微分方程的通解．并求满足初始条件为任意常数）,例3验证是不是方程的通解（C的特解．将初始条件代入通解，得故所求特解为6.2.1可分离变量的微分方程定义：形如f(x)dx+g(y)dy=0的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。如果微分方程M(x,y)dx+N(x,y)=0中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可分解为两个因子的积，并且这两个因子中都只含有一个变量x或y，则称为可分离变量的微分方程.(6.2.1)6.2一阶微分方程.可降阶的高阶微分方程(6.2.2)可分离变量微分方程(6.2.2

5、)可以表为去除这个方程的两边，上式就可化为以两边积分（C为任意常数）可验证，此结果即用隐式给出方程的通解．个原函数，而把积分常数明确地写上约定:在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一例1求微分方程解移项、积分得例2求方程的通解解分离变量，得两边积分，得通解例3求微分方程满足初始条件的特解．解此为可分离变量的微分方程分离变量后得两端积分，得即故所求特解为由初始条件得6.2.2齐次型微分方程形如的方程称为齐次型微分方程求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程.设则故有代入(6.2.3)得分离变量得例4求微分方程的通解．解整理得这不是可分离变量的方程，若

6、令即y=ux则有代入方程得(1)为可分离变量的微分方程即(1)将(1)变形为得从而6.2.3一阶线性微分方程特征如果q(x)=0,则(6.2.3)变为（6.2.4）称为一阶线性齐次方程．的微分方程，称为一阶线性微分方程．（6.2.3）定义形如（6.2.3）式称为一阶线性非齐次方程．下面介绍利用参数变易法求方程（6.2.3）的通解．的通解．首先求方程（6.2.3）所对应的齐次线性方程（6.2.4）（6.2.4）是变量可分离的方程，容易求得它的通解即(6.2.5)于是把它们代入方程（6.2.3），得(6.2.6)(6.2.7)故（6.2.3）式的通解为（6.2.8）即所以一阶线性

7、非齐次微分方程的求解步骤如下：(i)求对应于（6.2.3）的齐次方程（6.3.2）的通解(ii)令，并求出代入(i)，解出(iii)将(ii)中的(iv)将(iii)中求出的代入(ii)中y的表达式，得到此即为所求（6.2.2）的通解．例1求微分方程的通解．解代入公式则所求的通解为例2求解微分方程解方程可变形为这里所以例3求微分方程的通解．解把x看作是y的函数将原方程改写为：此为关于未知函数的一阶线性非齐次方程，其中，它们的自由项代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为6.2.4可降阶的高阶微分