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《计算机数学基础 何春江 第5章定积分几何应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.1定积分的微元法5.2定积分求平面图形的面5.3定积分求空间立体的体积第5章定积分的几何应用结束1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间[a,b],此方法称为微元法或积分元素法.在区间上任取一小区间,并记为.5.1定积分的微元法对定积分问题,所求量的积分表达式,可如下确定:2.找出在[a,b]上任意小区间[x,x+dx]上部分量△A的近似值,3.在[a,b]上求dA的定积分即得A的积分表达式设函数在区间上连续,,求由曲线及直线所围成的图形的面积.1.直角坐标下平面图形的面积5.2用定积分求平面图形的面积(2)以为被积表达式,在区间作定积分,这就
2、是所求图形的面积.(1)在区间上任取小区间,设此小区间上的面积为,它近似于高为,底为的小矩形面积,从而得面积微元为分析在这个公式中，无论曲线在x轴的上方或下方都成立，只要在曲线的下方即可。例1求由曲线所围成的图形的面积A。解两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为[0,1]面积微元所求面积为面积为,则近似于高为dy,底同理，设函数在区间上连续，为的小矩形面积,在区间上任取小区间,设此小区间上的求由曲线及直线所围成的图形的面积.于是所求面积为从而得面积微元为解由解得交点A(2,-1),B(8,2)例2求抛物线与直线所围成的图形的面积.A(2,
3、-1),B(8,2)取y为积分变量,于是,所求面积为:且求此曲线与射线所围成的曲边扇形的面积.2.极坐标下平面图形的面积设曲线的极坐标方程在上连续,在区间上任取一小区间,设此小区间上曲边扇形的面积为,则近似于半径为,中心角为的扇形面积,从而可得面积为从而得到面积微元为例3求心形线所围成的面积.解当从0变到时,得的图形为上半部分,心形线所围图形的面积A为极轴上方部分的两倍,即例4计算阿基米德螺线上对应于从0变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积.解面积微元为于是,所求面积为5.3用定积分求旋转体的体积5.3.1平行截面面积已知的立体体积设有一立体价于过点且
4、垂直于轴的两平面之间,求此立体的体积.如图,介于与之间的薄片的体积近似等于底面积为A(x),高为dx的扁柱体的体积,即体积微元为A(x)即对截面积A(x)从a到b求积分!于是所求体积为5.3.2旋转体体积设,及y=0所围图形绕x轴旋转,求所得旋转体的体积.选取为积分变量,其变化区间为,过点x做垂直于x轴的平面,截得旋转体截面是半径为的圆,其截面积为从而所求旋转体体积为例4计算由椭圆绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.解例5解注意到,实际上两条曲线围出的图形分两块,我们所求的是较小的一块的旋转体积,考虑一下较大图形旋转体的体积是多少?在线教务
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