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《计算机数学基础 何春江 第4章积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1定积分与不定积分的概念4.2基本积分方法4.3广义积分第4章积分结束4.1.1定积分概念与性质1.引例abx如图,由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.下面我们求曲边梯形的面积4.1定积分与不定积分的概念过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.(1)分割在(a,b)内插入n–1个分点把区间[a,b]分成n个小区间记每一个小区间的长度为abx(2)近似表示第i个小曲边梯形的面积,在小区间内任取一点,过点作x轴的垂线与曲线交于点,以为底,为高做
2、矩形,以此矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则a(3)求和将所有矩形面积求和则即是曲边梯形面积的近似值.(4)取极限记为所有小区间中长度的最大者,即,当时,总和的极限就是曲边梯形面积A,即2.定积分的概念定义定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.根据定积分的定义，前面的引例就可以用定积分概念来描述：曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即关于定积分的概念，还应
3、注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分的定义中，总假设，为了今后的使用方便，对于时作如下规定：如果在[a,b]上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.3定积分的几何意义：如果在[a,b]上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.axbaxb如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可
4、取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.xy=f(x)aboyA4A3A2A1性质1两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即4.定积分的基本性质设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可积.推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],则性质3性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.当c在区间[a,b]之外时，上面表达式也成立.性质2
5、被积函数的常数因子可以提到积分号外.利用定积分的几何意义，可分别求出例1解性质4性质5推论1推论2性质6(估值定理)证明例2解性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立证明因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有即数值介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点,使得即性质7的几何意义：在
6、上至少存在一点,使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为的矩形的面积.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流在该截面处的平均水深为.1.变上限积分设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且对于给定的x()就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限x的函数.注意：积分上限x
7、与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间4.1.2微分学基本定理变化的，因此常记为定理1证明由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).原函数不是唯一的,实际上,如果F(x)是f(x)的原函数,那么,F(x)+C也是f(x)的原函数.因此原函数有无穷多个.设和都是的原函数2.原函数如果F(x)的导数等于f(x),则称F(x)是f(x)的原函数.例如,是的原函数.则即即
8、函数的任意两个原函数之间相差一个常数.一个函数的变上限积分是这个函数的原函数.定理2微积分学基本定理3.微积分学基本定理证明上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x
