计算机数学基础 何春江 第10章 概率论基础

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1、第10章概率论基础10.1随机事件与概率10.1.1基本概念:要研究随机现象，就要构造数学模型，在概率论中我们把对随机现象的观察或试验称为随机试验（记作），如果一个现象或实验满足以下三个条件，则称为随机实验。（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确知道所有可能的试验结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．样本点：随机试验的每个可能结果称为一个基本事件或样本点，记为。样本空间：所有样本点的集合称为样本空间，记为。随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称为事件，用大定英文字母表示。必然事件：如果某事件包含了样本空间中所有样

2、本点，则称为必然事件，记为。必然事件在每次试验中一定发生。不可能事件：如果某事件不包含任何样本点，则称为不可能事件，记为。10.1.2事件间的关系及运算1．包含若事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件,记作或．2．相等如果两事件同时发生同时不发生，则称为两事件相等.3．事件的和由事件和至少有一个发生构成的事件称为事件与事件的和事件，记作．4．事件的积由事件与同时发生构成的事件称为事件与事件的积事件，记作．5．事件的差由事件发生而事件不发生构成的事件称为事件与事件的差，记作．6．互不相容（互斥）事件若事件与事件不能同时发生，即，则称事件与事件互不相容，又称事件与事件为互斥事

3、件．7．对立事件（互逆）若事件与事件满足：（1）；（2）.即事件与不能同时发生，又必然发生一个，则事件与事件称为对立事件（或互逆），并且记作．10.1.3   概率1.频率在相同条件下进行了次试验，如果事件发生了次，则称为事件在这次试验中发生的频率。记为.显然，频率具有以下性质：（1）对任何事件，；（2）；（3）互斥事件和的频率等于频率的和.2概率的统计定义当试验次数增大时，事件的频率将趋于稳定，如果当试验次数无限增大时，稳定地在某常数附近摆动，则称为事件发生的概率.记为10.2古典概型10.2.1古典概型如果随机试验满足如下条件：（１）有限性：样本空间的样本点数（即基本事

4、件数）只有有限个，记为；（２）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等，即则称为古典概型.对于古典概型，其概率的计算公式为：例1某宾馆共有职工200人，其中女性有160人，现从所有职工中任选一人，选到男性的概率是多少？解样本点总数为200，事件“选到男性”的样本点数为男职工人数，为人，因此例2在盒子中放有10个球，分别标有号码，现从中任取一球，求取得号码为偶数的概率．解设：“取出的球的号码是偶数”；：“表示取出的球号码为”，．则中所含基本事件有，基本事件个数为5，而事件总数为10，故10.2.2概率性质（1）有限可加性：设是两两互不相容的事件，即对于，，则有（2）对任意事件，（

5、3）若，则10.2.3概率的加法公式对于任意两事件有若事件与事件互不相容，即，则例3某班学生共40人，其中订数学杂志的有25人，订英语杂志的有20人，两种都订的有15人，求该班中订这两种杂志的人数占总人数的比例是多少．解从班级中任意抽取一人，设表示“此人订数学杂志”；表示“此人订英语杂志”；则因此即全班有的人订了此两种杂志.10.3条件概率、乘法公式与事件的独立性10.3.1条件概率定义1设是两个事件，且称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率．显然，条件概率符合概率定义中的三个性质，即(1)非负性：对于每一事件有；(2)规范性：对于必然事件有；(3)有限可加性：设是两两互不

6、相容的事件，则有例1袋中装有个白球，个黑球，从中一次取出个球，发现都是同一种颜色的，求这种颜色是黑色的概率．解设表示取出的个球是同一颜色的；表示取出的个球是黑颜色的；则由条件概率公式得10.3.2乘法公式对任意两事件，若，由条件概率公式得同样由可得以上两式称为乘法公式．例210个零件中有3个次品，从中顺次取出两件，求第一件是正品及两件都是正品的概率.解设、分别表示“第一件是正品”和“第二件是正品”10.3.3事件的独立性定义2若事件和满足则称它们是相互独立的．定理若事件和相互独立，则事件与，与，与也相互独立．例3甲、乙、丙三人各自独立地向同一目标射击一次，命中率分别为，求目标

7、被击中的概率．解设表示目标被击中，分别表示甲、乙、丙击中目标，则目标被击中即三人中至少有一人击中目标，其对立事件为三人均未击中目标，因此有又由于甲、乙、丙三人射击是相互独立的，因此有10.3.4全概公式与逆概公式定义3设为样本空间，一组事件若满足以下两个条件：（1）两两互不相容，即；（2）.则称为样本空间的一个划分或称为一个完备事件组.1．全概率公式设事件是样本空间的一个划分，则对任一事件有例4某批产品由甲、乙、丙三个车间生产，产量分别为，各车间的次品率分别为，求全部产品的次品率．解从这批产品中任取出一