自动控制原理 李明富 第2章 控制系统的数学模型

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1、第2章控制系统的数学模型2.1微分方程2.1.1系统微分方程的建立1．电路系统数学模型图2-1直流电动机【例2-1】建立如图2-1所示直流电动机的微分方程。解:（1）由该电路图可知，该系统为电学系统（含电动机），遵循电学相关规律。（2）确定该系统的电动机两端电压Ud为输入量，电动机转速n为输出量。（3）根据各元件或环节所遵循的规律，列写各元件或环节的微分方程：（2-1）（2-2）（2-3）（2-4）在以上各式中，Ud——电枢电压；E——电枢电动势；Rd——电枢电阻；Ld——电枢电感；Td——电磁转矩；T

2、L——摩擦及负载转矩；——主磁通；CT——转矩常数；CE——电动势常数；n——转速；JG——转动惯量。对于该系统，主要分析电枢电压Ud对电动机转速n的影响，因此在该电学系统中，应以电枢电压Ud作为系统的输入量，电动机转速n作为系统的输出量，TL作为系统的扰动量。（4）消去中间变量。由式（2-1）～式（2-4）消去中间变量id、Td和E，并整理成标准形式，就可以得到电枢电压控制的直流电动机的微分方程为式中，m——电动机的机电时间常数，d——电枢回路的电磁时间常数，由式（2-5）可知，电动机的转速不仅

3、与电动机自身的固有参数m、d有关，还与电枢电压Ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化有关。（5）标准化。若不考虑电动机负载的影响，则描述该系统输入与输出的微分方程为（2-5）（2-6）【例2-2】建立如图2-2所示滤波网络以U1为输入量、U2为输出量的微分方程。图2-2滤波网络解：（1）该系统为电学系统，遵循电学系统的相关规律。（2）确定该滤波网络系统的输入量为U1，输出量为U2，i1、i2为中间变量。（3）由电工学知识中基尔霍夫定律，列写各环节或元件的方程为（2-7）（2-8）（2-9）返回例

4、2-5（4）由式（2-7）～式（2-9）消去中间变量可得（5）标准化。将与系统输出量有关的各项写在方程的左端，与系统输入量有关的各项写在方程的右端，并把有关参数用具有一定物理意义的量来表示，可得式中，T1=R1C1R2C2，T2=R1C1R2C2+R1C2为时间常数。（2-10）（2-11）注意：对于由两个环节串联的系统，由于在相邻两个元件间存在着负载效应，即后一元件的存在影响前一元件的输出，所以如果只是独立地分别写出两个串联元件的运动方程，经过消去中间变量而得到运动方程，就会得出不正确的结论。因此在列

5、写串联环节所构成的运动方程时，应该考虑负载效应的影响，不能直接将两个环节简单串联。2．机械力学系统数学模型在实际的机械平移系统中，经常按集中参数建立系统的物理模型，然后进行性能分析。这种物理模型中有3个基本的无源元件：质量m、弹簧k、阻尼器f，由它们的组合可以构成各种机械平移系统，掌握好这3种元件的力学性质和作用，是分析这种系统的基础。由这3类元件组成的系统存在以下3类阻碍运动的力。（1）惯性力。惯性力是一种与质量有关的力，具有阻止启动和阻止停止运动的性质。按照牛顿第二定律可知，惯性力的大小等于质量乘以

6、加速度，即（2-12）式中，a代表加速度，v代表速度，y代表位移。（2）弹性力。弹性力是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与其形变成正比，即（2-13）式中，k为弹簧刚度，在弹性力的表示式中是一个系数，属于系统的固有参数，其物理意义表示单位形变的恢复力。（3）阻尼力。阻尼力是阻尼器中产生的粘性摩擦力，其大小与阻尼器中活塞与刚体的相对运动速度成正比，即（2-14）图2-3弹簧—质量—阻尼器系统式中，f是阻尼系数，它是系统的固有参数，其物理意义表示单位速度的阻力。阻尼器本身不储存任何动能或势能，主要用来吸收系统能

7、量，并转换成热能消耗掉。【例2-3】弹簧—质量—阻尼器系统组成如图2-3所示，试列写以外力F(t)为输入量、质量m的位移y(t)为输出量的微分方程。解：（1）确定系统的输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量的力有弹性力Fk、粘性阻力Ff，均为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且当无外力作用时，系统处于平衡状态。（3）按牛顿第二定律列写方程，同时写出输出变量与中间变量的关系式，即（4）由式（2-15）～式（2-17）消去中间变量可得（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）（5）标准

8、化。整理方程得标准型（2-19）令，,，则方程化为，（2-20）因此，该标准型为二阶线性常系数微分方程。图2-4机械传动系统【例2-4】设一个机械转动系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成，其原理图如图2-4所示，试列写以M为输入量，为输出量的系统运动方程。（J表示惯性负载的转动惯量，f表示阻尼器的粘性摩擦系数，M表示外作用力矩，表示负载转动角速度）。解：（1）该系统为机械转动系统。（2）确定该系统的输入量为力矩M，输出量为。（3）对于机