第2章 水动力弥散方程

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1、第二章水动力弥散方程用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程（微分方程）。本章主要内容有：2-1.水动力弥散方程的有关参数1、流体的密度、浓度；2、多组分流体的流速；3、流体的通量。2-2.溶液中α组分的质量守恒方程2-3.α组分的的对流—扩散（Fick方程）2-4.多孔介质中水动力弥散方程2-5.源汇项2-6.初始条件与边界条件2-1水动力弥散方程的有关参数2-1-1流体的密度（ρ）所谓的流体密度指的是单位流体体积的质量，常用ρ表示，量纲[ML-3]。多组分流体的密度实际上对于非均质的多组分流体而言，其密度是随着组成它的各种组分的

2、浓度不同而变化的。假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α，取该液体中一体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量为dmα则α组分的质量密度：若将所有N种组分的质量密度进行求和：就等于该溶体的体系密度。某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓度。浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。2-1-2多组分流体的流速α组分的质点流速——是指在dv内α组分的各个分子的统计平均速度，也就是各个分子的速度之和除以分子的个数。对每种多组分流体来看溶液中各种组分的速度是不相等的。流体体系的质点流速:流体体系中各

3、组分的质量平均速度一般情况下，α组分的质点流速与流体体系的质量平均流速是不相等的，两者存在一个偏差：称为α组分质点相对于质量平均速度的扩散速度。2-1-3流体的通量流体的质量通量：流体在单位时间内通过单位面积的流体的质量α组分的质量通量——单位时间内通过与流体方向垂直的单位面积上的α组分的质量。α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量：对流体体系来说，显然有：这是因为2-2溶液中α组分的质量守恒方程（连续介质）在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面，边

4、长分别为△x、△y、△z，质量守恒原理:在时间△t内，组分α在这个单元体中的净流出（或流出）量（暂不考虑起内部有质量产生和消失），应等于这个单元中α组分的质量变化用方程的形式可表示为：质量守恒方程（连续介质）设分别表示α组分密度、x,y,z方向的速度分量。其中：——经过△t时间后，质量均衡体中的变化量。将上式左右两端同除以得：再对方程两端取极限，即令即有：即若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可改写为：——多组分流体体系中α组分的质量守恒方程—多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化学反应或其它原因所产生（或消失

5、）的α组分的质量。上述质量守恒方程中，至少包括4个未知变量有时可以独立给出（如抽、注、示踪剂的速率），但有时也与有关，如吸附作用、溶解作用，不能简单的给定，因此上述方程不能单独求解，还必须引入通量与驱动力之间的关系式，即质量通量与α组分密度间的关系。在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动：2-3α组分的对流—扩散方程（连续介质）一是受流体的流动的控制，即该组分按平均流速随这个流体体系的运移，即对流；二是该组分的自身分子扩散，即由浓度梯度引起的相对于平均流速运移的分子扩散。下面在α组分质量守恒方程基础上建立α组分的对流—

6、扩散方程：引入α组分的质量扩散通量则上式可写成：是α组分的质量通量的对流分量。是α组分的质量通量的扩散分量。对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，α组分在等温条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度的扩散通量可依Fick定律得出：表示溶质的分子扩散系数：——二元体系中α组分的对流—扩散方程对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响，于是可视为常量，也可视为常数。则：——稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程将上述对流—扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体中污染物质的迁移）。

7、应用条件：1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介质中所发生的现象。方程中微观变量C、，都是相对于流体的质点而言的，而实际工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。2-4多孔介质中水动力弥散方程上述对流—扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架作为问题的边界。将速度和浓度在典型单元体的空隙体积上取平均值和：速度和浓度可分别用平均值、和偏差、之和来表示：显然于是连续性水动力

8、方程可以写成：注意到：在典型单元体上的液相体积中取平均值，得并且：梯度的平均等于平均的梯度；散度的平均等于平均的散度；对时间导数的平均值等于平均对时间求导。可得：展开，得在溶液连续体中的分子扩散系数在多孔介