水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点

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1、水动力弥散方程解析解的适用条件和优缺点尽管解析解法在求解复杂的水动力弥散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。室内或野外试验都耍根据解析解的实用条件来进行设计，并用解析解去拟合观测资料以求得水动力弥散系数。解析解中将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本解出发，利用叠加原理导出线源、面源、多点源及连续注入问题的解。因此，点源问题的解是一切解的根木，需十分重视。(1)空间瞬时点源的解其基本条件是：①均质各向同性介质；②静止流场W=弥散系数为常数,流体密度为常数(口=常数)；③r=o时，在原点处瞬时注入溶质的质量为m。以瞬吋点源的位置为原点，吋以

2、得出浓度C是相对于原点对称的。可简化出纯弥散方程：dC92Cd2C32C式中，D代表多孔介质的分子扩散系数。该式可看出，是球对称的，宥利于纯弥散方式的应用讨论。取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均衡段，根据质量均衡有：W.n^JDR-W.n.JDR+dR=Vv—式屮，W为球面积；n力有效孔隙率；JD力弥散通量，且八=-£>

3、^，Vv为均衡段空隙体积。忽略高阶微量，化简P得：dC1djdC—=D•—•—(R~—)dtR2dRdR于是该点源的定解问题可以写成：dCDd=•dtR2dRR2dC^dR)(R^O,t>0)CW)U=0(R>0)cw)

4、

5、/?-><«=0(t〉0)（t〉0）C(/?,z)

6、,=o=O£C•n*4ttR2cIR=m(t>0)(该式将点源处浓度限制在冇限区域)通过Boltzmann变换，将原来的偏微分方程定解问题转变为常微分方程定解问题，可求得空问瞬时点源的解为：C(R，t)=—4Dt8"O£>Z)2从上式吋得出：①等浓度面为圆心位于原点处的球面；②任何吋候的浓度最大值都在原点处，且随着吋间的增加，原点处的浓度减小。(1)空间瞬时无限线源解空间瞬时无限线源的作用可看着点源的连续分布，因考虑到点源基本解的微分方程是线性的，故采用叠加的方法，即积分法，可得空间无限线源的基本解为：

7、rmC(r,r)=e4D,4miDt从上式可看出，浓度C与z无关，即在z方向不产生弥散问题。也就是说我们可以将空问上的无限线源弥散问题转化成平面上的二维弥散问题。于是，该解也可为乎面瞬时点源问题的基木解。(2)空间瞬时无限面源的解根据点、线、而的构成原理，同理，可将空间无限而源看成是无数连续排列的无限线源组成，通过对无限线源的积分，可以得出空间无限面源的基木解为：.2C(x,r)=—^=e4D7'2n^lTrDt从上式可看出：y与z无关，也就是说上述定解问题实质上是一维弥散问题。以上解都是没有边界限制的，若加上边界，便成了冇限空间问题。若边界简单，则可利用

8、类似于水流问题中的反映法，将其变成无界问题，然后再采用叠加方法求出所需求的解。(3)一维稳定流下水动力弥散问题的解-般情况，水动力弥散问题都是在一维稳定流情况下讨论的，分为一、二三维水动力弥散问题的解。I、一维水动力弥散问题与一维瞬吋点源fuj题相近，初始条件与边界条件都相同。只是在示踪剂瞬吋注入吋,设其原冇溶液浓度Co=O，并冇速度W稳定流动,求浓度CCrA的分布，从而造成一维水动力弥散问题比之多了一个对流项。本书中，采取坐标转换(按利用一维瞬时点源问题的解，消去对流项，X=x-ut,T=t将新变量X、T反变换后得到:CCV)m/u-'")2/①/卿2n

9、^7cDLt当一维水动力弥散W题里初始浓度成阶梯状分布，即形成一维稳定流动一维水动力弥散问题，其数学模型可写成：dtdrdxIGoC(-oo,r)=C()t>0C(°°,z)=C,z>0我们可以通过利用点源的基本解进行积分，再令用换元法对它进行简化，得出：C(x,z)(x-uty卿2nyj7rDLi而在半无限，一端为定浓度边界的限定情况下，一维水动力弥散问题的数学模型为：dca2cdc――=D,——--U-—dtdx2dxC(x,O)=0x>0C(0,^)=Cot>0C(<»,z)=0z>0该模型通过Laplace变换，丼利用边界条件，换元法可得出该定解问

10、题的解：£=Lerfc(^LCo2kx4’婦谎当X足够大或t足够长时，该式为II、二维水动力弥散问题屮，注入平面瞬时点源时，同样可利用平而瞬时点源的基木解，通过换元等一系列转化、积分求得所求之解。只是必须清楚该问题在假定条件上有新的变化：①〃*0,为一定值，流体非静止②水动力弥散系数为各向异性。通过一定关系的转化，得出该问题的解：C(x，y，r)iM47TylDLDTi(x-utr[y-4DLt^Djt当注入平面连续点源吋，可将连续点源的作用看为无数瞬时点源之和，通过叠加原理，积分求符解：XU2.4D式中，22222*^4+-^—,么（灼为第二类零阶修正贝

11、赛尔函数，勿为4Z）£4DlDt4Dl第一类越流系统井函数。当时问