等比数列的前n项和公式经典教案

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1、等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.【重点】：等比数列的前n项和公式的推导和应用.【难点】：应用等比数列的前n项和公式解决具体问题.【学法指导】1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的

2、疑惑”处.一、知识温故1.如何求等比数列的通项公式？2.等比数列具有哪些性质？Ⅱ.教材助读1.在等比数列中，的和与首尾两项和有什么关系？2.如何推导等比数列的前n项和公式？3.等比数列的前n项和公式:,代入等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式还可以写成【预习自测】1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)A．11B．5C．－8D．－112．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)A．－3B．5C．－31D．331、答案　D解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.7【我的疑惑】知识要点归纳

3、：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝；当q＝1时，Sn＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．二、典型范例Ⅰ

4、.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列的前n项和？写出公式的推导过程。设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②由①－②得：(1－q)Sn＝.当q≠1时，Sn＝.因为an＝a1qn－1，所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝.问题2　下面提供了一种利用比例的性质推导等比数列前n项和公式的方法，请你补充完整：由等比数

5、列的定义知：＝＝＝…＝＝q.当q≠1时，由等比性质得：＝q，即＝q.故Sn＝＝.当q＝1时，易知Sn＝.7归纳总结（1）求等比数列的前n项和：已知首项和第n项时，用公式（公式一）；已知首项和公差q时，用公式（公式2）（2）等比数列的五个量中，已知三个，可以求出另外两个。（3）由可知：是(4)是数列求和的一种重要方法。问题探究一　错位相减法求和问题　教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完

6、整．设Sn＝＋＋＋…＋，∴Sn＝，∴Sn－Sn＝，即Sn＝＝∴Sn＝＝2－.例1　在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.解　由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，即②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.可求得a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2.问题探究二　等比数列前n项和Sn与函数的关系问题　当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一些孤立的点．7当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn

7、＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些孤立的点．例如，若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.问题探究三　等比数列前n项和的性质问题1　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，求证：Sm＋