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《向量法解立体几何的方法总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、向量法解决空间几何问题一、证明：空间几何主要证明垂直和平行。1、垂直：有线线垂直，线面垂直（重点），面面垂直（1）线线：证明两直线向量积为0即如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点。（Ⅰ）求证：BDFG；（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；(Ⅲ)当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。解：以AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系设正方形边长为a,PA为b，则B（a,0,0）,D(0,a,0),P(0,0,b),C(a,
2、a,0)，F(a/2,a/2,b/2),G(X,X,0)(I)证明：=(-a,a,0),X=0,即证BDFG（2）线面：证明该线向量乘该平面两条相交线向量积分别为0如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥面ABCD，SA=AD=1，AB=．（I）求证：MN⊥平面ABN；（II）求二面角A—BN—C的余弦值．（3）面面：证明两平面法向量积为0即BCADEP如图：平面，四边形ABCD为直角梯形，//，，6，,．(Ⅰ)求证：//平面；（Ⅱ)求证：平面平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值．2、平行：线面平行（重点），面面平行
3、（1）线面：(AB为这条直线向量，n为平面法向量)DBCEB1C1AA1如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.（2）面面（计算二面角为90度）二、计算：角度，距离，体积1.角度：线线角，线面角，面面角（重点）（1）线线：(AB与CD为两直线的向量)已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。（2）线面：(AB为直线向量，n为平面法向量)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1
4、D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。61．解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由ABCDPxyzH可得．解得，所以．（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．（3）二面角：(m,n分别为两平面的法向量)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（Ⅰ）证明：
5、不防设作，则，，6由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.∴平面.（Ⅱ）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为2.距离：线线，点面（1）线线：(P为一条直线上一点，A是另一直线上一点，n为垂直两直线的向量)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，.已知求（Ⅰ）异面直线与的距离；（Ⅱ）二面角的大小.解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由，即由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线6,的距离为.（Ⅱ）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故即二面
6、角的大小为（2）点面:(P为平面外一点，A为平面任意一点，n为平面法向量)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.∵为平行四边形，6（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为6
