2011-2013年卓越联盟自主招生数学试题及答案(精校版+完整版)

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1、2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为(A)(B)(C)(D)(2)已知sin2(a+g)=nsin2b，则2等于(A)(B)(C)(D)(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)(4)i为虚数单位，设复数z满足

2、z

3、=1，则的最大值为(A)-1(B)2-(C)+1(D)2+(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC

4、边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x(B)y2=8x(C)y2=-16x(D)y2=-8x(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)(B)(C)(D)(7)若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为()(A)(0，1)(B)(，1)(C)(，+∞)(D)(1，+∞)(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)(B)(C)(D)2(9)数列{a

5、n}共有11项，a1=0，a11=4，且

6、ak+1-ak

7、=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为()(A)100(B)120(C)140(D)160(10)设s是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，t表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用ts表示变换的复合，先做t，再做s，用sk表示连续k次的变换，则sts2ts3ts4是()(A)s4(B)s5(C)s2t(D)ts2(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．(Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列；(Ⅱ)若(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．(12)在

8、△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1

9、=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EXn+1=(1-)EXn+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；(Ⅱ)设0

10、标变为原来的倍，纵坐标不变(B)先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(C)先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变(D)先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变（3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A）21(B)24(C)30(D)48(4)设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数的取值范围为（A）(B)(C)(D)二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程

11、为．（6）设点在的内部，点，分别为边，的中点，且，则．（7）设曲线与轴所围成的区域为，向区域内随机投一点，则该点落入区域内的概率为．(8)如图，是圆的切线，是切点，与垂直，垂足是，割线交圆于，且，则（用表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在中，三个内角、、所对边分别为、、．已知．（1）求角的大小；（2）求的最大值．（10）（本题满分1