卓越联盟自主招生数学真题及答案(2011-2013)

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1、卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2013年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题22011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案52012年卓越联盟自主招生数学试题112012卓越联盟自主招生数学真题答案解析142013年卓越联盟自主招生数学试题202013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案222011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值:分时量:分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为()A.B.C.D.2.已知则()A.B.C.D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则

2、异面直线与所成角的正弦值为()A.B.C.D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为()A.B.C.D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为()A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为()A.B.C.D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为()A.B.C.D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为()A.B.C.D.9.数列共有11项,且

3、满足这种条件的不同数列的个数为()A.100B.120C.140D.16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是()A.B.C.D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.

4、一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1)可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线

5、于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概

6、率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);

7、(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。该份试卷从工科院校的特点出发，考察了学生应用基础知识求解几何与分析方面的（最大值

8、或最小值）优化问题,能够延伸性地考察学生的数学能力。对于数理知识测试中物理部分,专家评论道:物理题目涉及了力学、热学、光学、电磁学、振动、近代物理知识,体现了能力测试为主导,特别是考核学生综合运用基础知识,基本技能解决问题和分析问题的能力。选择题多