风险理论第七讲

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1、集体风险模型应用四、理赔次数的复合分布问题：一次损失事故的发生可能会导致多份保单同时发生索赔，如何求索赔次数的分布。设N表示保单组合在单位时间内发生事故的次数，N的分布为fN(n)，母函数为PN(z)。Mi表示在第次事故中引发理赔的保单数，Mi为独立同分布的随机变量，且与事故次数N独立，Mi分布为fM(x)，母函数为PM(z)。则在单位时间内保单组合总共发生的理赔次数为其中S的母函数为例1：设从城市A到城市B的某航线每个月有70个航班，假设每个航班有的可能性取消，假设每次飞行有的概率出事。进一步假设每趟飞机有200个座位，每次飞行有的就座率和6个机组人员

2、，假设出事飞机上的每个人都死亡，并且都买了保险。求每个月此航线的索赔次数的期望和方差。.解：令S表示下个月此航线的索赔次数N表示下个月出行的航班数P表示飞机上的人员数，M表示乘客数那么，P的均值和方差分别为令K表示出行中发生事故的航班数，则令S表示下个月发生事故死亡的人员数，免赔额对理赔次数的影响注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数。1、免赔额存在时X以表示损失，NL表示损失次数，d表示免赔额，v=P(X>d)，NP表示理赔次数。令则由于由复合分布的母函数公式例2：设N服从二项式分布B(n,q)，求NP的分布。解：N的母函数为由公式因此，NP服从

3、二项分布B(n,vq)。例3：N服从负二项分布NB（r,q），求NP的分布。解：N的母函数为由复合分布的母函数公式因此，N服从负二项分布NB(r,q*)，练习：设某险种的实际损失额有几种可能：25，50，100，200，500，发生的概率分别为0.2，0.3,0.2,0.15,0.1,0.05假设损失事件的次数服从参数为q=0.4,r=5的负二项分布，免赔额为50，求理赔次数至少为1次的概率。答案为0.4816命题1：假设N的母函数，其中B(.)是与参数无关的函数，则N和NP的分布类型没有变化。证明：注：所有的分布都保持原来的类型。2、免赔额发生变化时原

4、来的免赔额为d，现在免赔额调整为d*，请问调整后新理赔次数发生了什么变化?记Nd表示免赔额为d的理赔次数，Nd*表示理赔额为的理赔次数，设v’表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则令I=1表示继续获得赔偿，I=0表示不能继续获得赔偿当d*>d时，v’<1，当Nd为（a,b,0）分布时，Nd*的分布类型与Nd相同，只是参数发生变化。当d*1，此时的参数可能超出原频率分布的参数范围，因此我们不能考虑这种情形。三、限额损失再保险再保险（reinsureance），也称分保，是保险公司在保险合同的基础上通过签订分保合同，转嫁

5、所承担的风险和责任的方式，通俗的说，就是对保险人的保险。常见的再保险形式：1：比例再保险原保险人按约定的比例，将每一个风险单位的保险金额向再保险人分保。其数学模型为2停止损失再保险：（Stoplosstreaties）以原保险人一段时间内（一般为一年）的总损失为基础，且合约中规定了自留额和赔偿限额。若不考虑限额，其数学模型为再保险公司的赔付额的期望称为停止损失净保费。下面我们来计算停止损失净保费E(Id)。基本公式当理赔S仅取非负整数值并且d也是整数时，有例4：设其中理赔次数个别理赔额变量计算E(I7)。解：因为N的最大值为3，S的最大值为9，所以用公式

6、计算得因此，有几种特殊情况下E(Id)的计算公式。1、设，则对d∈(a,b)有2、当理赔S只取值于某个货币单位h的整数倍时，即对于d＝jh，则在第2种情形中，对于任意d，都可递推计算出E(Id)首先递推计算出E(Id)，d＝jh对于jh

7、理赔次数也独立。公司对年总理赔购买了限额损失再保险，对年总理赔的免赔额为3，计算保单期望赔付额。解：根据理赔额的分布得由N的分布得利用计算得因此，团体保险的红利模型保险业务中，尤其是团体保险业务中，常常会设置某种对投保人的红利政策，以使投保人能够分享公司的部分经营成果，同时鼓励投保人自我防范风险、减少可以避免的损失。下面考虑对实际赔付S低于定价假设的部分进行分红的方法，基本的做法是以所收取的保费G为基础，按照一定的份额设定一个额度，如果最后所发生的理赔低于这个额度，则把这部分差额作为红利返还给投保人，记此返还额为D，故红利分配模型为：设S的分布函数为FS

8、(x)，密度函数为fS(x)，有容易验证，两边取期望得故例7：某保单组的保费G等