几何公理法简介

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1、第6章几何公理法简介6.3第五公设问题6.3.1普雷菲定理1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行．先证第五公设蕴涵平行公理．设为平面上一已知直线，是不在上的任一已知点，求证有唯一直线通过而与不相交．作于点，用表示在与垂直的直线，则不可能与相交，否则将构成一三角形，与外角定理矛盾．平行线的存在性证明了．再设是通过与相异的任一直线，那么必然在直线的某一侧跟组成锐角．应用眼前的假设第五公设于两直线及截线，可知必

2、与在这一侧相交．再证平行公理蕴涵第五公设．设直线被直线所截，在一侧的内角之和（表直角），从而另一侧内角和．通过跟的交点引直线，使其与所成的角满足．于是，所以，因为若跟相交，要得出与外角定理相矛盾的结果．由假设通过的交点只有一直线与平行，所以与相异的直线必与相交．还要证明和相交于和所在的一侧，这可从以及外角定理立即得出．6.3.2萨开里的试证71733年意大利数学家萨开里出版了名为《免除一切污点的欧几里得》，这里“欧几里得”指《原本》．在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远，得到一系列结果．如果在关键的时

3、刻他再推进一步，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪．他的后继人也没做这样的工作．似乎他的工作被人遗忘了．后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（1835——1900年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已发现过了．他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形”，两下底角是直角，两侧边相等：定理1在四边形中，若且，则证明我们只需取下底的中垂线为对称轴折叠即得．由此推出即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线．定理2设四边形中，且，则．证明延长至使，则按定理1有又在应用外角

4、定理得．所以萨开里关于他的四角形曾做过三种假设：⑴锐角假设：，于是推出，并且三角形的内角和小于二直角．⑵直角假设：，于是推出，并且三角形的内角和等于二直角。．⑶钝角假设：，于是推出，并且三角形的内角和大于二直角．由于推理步骤相似，我们只就锐角假设讨论．定理3在锐角假设下有．证明既然假设，又由定理1于是鉴于定理1和蔼从四角形得故有，即．定理4在锐角假设下，三角形的内角和小于两直角．证明由于一个三角形可分解成两个直角三角形，我们只须就直角三角形加以证明．设在中，如图作并取，则为萨开里四角形．于是由锐角假设和定

5、理3，现在就和看，有两边相等而第三边不等，所以，从而有(作图)所以7萨开里证明过，只要在一个萨开里四角形中，上底角是直角，那么第五公设就成立．他象所有数学家一样相信直角假设成立面另外两个假设必须抛弃．他首先把钝角假设导致矛盾，所以只要将锐角假设也导致矛盾，那么第五公设就证明了．他从锐角假设出发得出一系列属于罗巴切夫斯基几何的命题，尽管这些命题与我们的直观不相符，却找不到一个逻辑矛盾。但在一连串正确推理以后，他发现倘若锐角假设成立，那么无限地接近的两直线在无穷远点应有共同的垂线，他认为这是“与直线的本质抵触

6、的．”于是他认为第五证明了．明白地，他本人也感到锐角假设的逻辑矛盾并未找到，他重新回到证明它“自相矛盾”的问题．为此，他用两种方法计算一条线段的长度，得到两个结果，他认为找到矛盾了．实际是他计算中有错误．6.3.3勒戎得的试证勒戎得不仅在分析和力学方面有出名的工作，在几何方面也很有成就．1794年他的著作《几何原理》对后来的教科书有很大的影响．他试证第五公设时讨论了三种互相排斥的假定：I．三角形的内角和大于两直角，II．三角形的内角和等于两直角，III．三角形的内角和小于两直角．他用正确的推理把第一个假定

7、推向矛盾，若能把第三个假定也引向矛盾，那就证明了三角形内角和等于两直角．同时也就证明了第五公设．可惜在把第三个假定引向矛盾时，他自己不觉察用上一个与第五公设等价的命题．定理I如果每个三角形的内角和等于二直角，则第五公设成立．证明设每个三角形的内角和为二直角，又设为一直线，为其外一点。求证通过只有一直线与不相交．作于，并过作直线，我们知道与不相交．设是通过的任意直线，而是与线段所成的锐角．我们来证明直线与直线相交在锐角所在的一侧．为此，在直线上锐角所在的一侧作点使．再在同一侧作使．一般，作点使我们来观察三角

8、形因为假设每个三角形的内角和为，所以在等腰中，顶点为和的内角都等于由此推出中顶点为的内角等于一般，在中顶点为的内角等于因之既然设为锐角，就有，其中．取充分大，使于是有7这样，直线夹在的边和中间，因此它与直线应相交于点与之间．即是说，通过只有直线与不相交．证完．现在让我们回过来讨论三角形的内角和问题，并引进两符号．设为一三角形，则分别称为这三角形的角和和角亏（亏值）．定理II在每个三角形中，．证明设的内角为,,,并设定理的反面成