偏微分方程进行图像处理的上历史

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1、偏微分方程进行图像处理的上历史使用偏微分方程进行图像处理的思想可以追溯到Gabor和Jain，但是这种方法真正建立起来是从Koenderind，和Witkin开始，他们引入了尺度空问(ScaleSpace)的概念，尺度空间把一组图像同时在多个尺度上表述。他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程进行图像处理的基础。图像的多个尺度是通过高斯平滑来获得。利用经典热传导方程来演化图像也可以获得图像的尺度空间，在80年代末，Hummel提出热传导方程并不是唯可以构成尺度空间的方程，并提出构成尺度空问的准则。Pe

2、rona和Malik提出的各向异性扩散在这个领域最具有影响力。他们提出用一个可以保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian扩散。他们的工作引发了许多理论和实际问题的研究。Ocher和Rudin'提出的TV（totalvariation)模型更突出了偏微分方程在图像处理中的重要性。使用偏微分方程进行图像处理里的优点使用偏微分方程进行图像处理有很多优点。使用偏微分方程可以用广义上连续的二维函数来对图像进行建模，从而对图像进行求导求积分等操作，这就把图像处理问题规范化，使问题的描述在形式上变得简单。从

3、偏微分方程的角度出发，图像处理问题不再依赖于离散象素点栅格的形状，传统的方形栅格模型可以扩展到其他形状的栅格。还可从偏微分方程的角度对图像处理中的非线性滤波器进行重新认识和分析。在计算方面，可以很好的利用现在已有的一些非常完备的数值分析和偏微分方程计算方法来进行运算。最后，使川偏微分方程的突出优点是可以使图像处理和分析的速度、准确性和稳定性都有很大提高。偏微分方程的导出偏微分方程可以从图像处理中的变分问题中得出。用变分法求图像处理中的极小值其中，u(x,y)表示一个图像函数，E[u]定义了一幅图像的

4、能量。令F(u)代表E[u]的Euler微分，可得极小值达到得必要条件是一般可以用如下的梯度下降法方程来求解其中t是人为引入的一个时间维度，表示了图像的演化过程。偏微分方程在计算机视觉和图像处理中已经使用了很久。用偏微分方程处理图像的关键就在于根据不同的实际需要定义相应的能量泛函。在TV模型中，图像的能量定义为求它的Eider微分可以得到与式((1.1.2)(1.1.3)对应的偏微分方程在解不同的图像处理问题时，给定了不同的初值条件，然后通过求解以上方程就可以得到结果。求解类似于((1.2.2)的方

5、程是一个相当复杂的过程。对于离散化的图像，先要把微分方程离散化，在进行数值求解时，还要考虑算法的收敛性，复杂度等。比如((1.2.2)式是一个非线性的方程，很难直接求解，一般可以用梯度下降法，变成((1.2.3)式的形式，然后进行迭代求解。在把微分方程离散化后，图像u和u0变成一维的向量，向量的阶数是图像象素的个数，算子H则变成一个高维的矩阵，对于一幅256X256的图像，H是一个64KX64K的矩阵，这在口前显然是无法直接进行运算的。本文中讨论了日前广泛使用的几种方法，包括显式和隐式的梯度下降法，

6、最速下降法和共扼梯度法。川数值方法求解偏微分方程的许多问题现在仍然很不完善，一些解法的收敛性仍然还没有得到证明，只能在实践中来检验它的正确性。偏微分方程主要可以用于图像恢复包括图像的去噪、图像的去模糊，还可用于图像的分割、图像平滑、图像增强等方面。基于TV(TotalVariation)模型的图像恢复TV模型去噪在偏微分方程去噪中，TV模型表现出色。TV滤波器在去除噪声时并不会把图像模糊或者边缘扭曲。它的几个特点可以总结为:1)滤波器的结构比较简单，滤波器的系数也比较容易计算。计算滤波器的系数时包含

7、了图像的边缘信诀息。2)与传统的滤波器不同，传统的滤波器时建立在统计模型的基础上的，TV滤波器是建立在范函分析和微分几何的数学模型基础上的。令“”为观察到的图像，含有均值为0，方差为。’的加性噪声。于是有图像恢复问题是图像处理中最基本的问题。从观察到的数据出发，求真实图像的一个最优估计。观察到的图像数据和图像的生成模型给了一个约束，图像恢复问题就是在这个约束下求最优估计的问题。用图像的TV来定义最优，可以把这个约束问题变成一个无约束最优化问题其中u0表示观察到的数据，H表示模糊算子。在图像去噪声时H

8、可以不考虑。由变分法可得最小值到达的必要条件为H’代表模糊核H的邻接算子。这个偏微分方程的解就是恢复的图像。在文中还可以看出这个偏微分方程的求解过程可以看作是由一系列的非线性滤波器组成。图像内容填充图像的内容填充是一种高层次的视觉行为，比如图像一块区域的数据丢失，要对图像进行修补，这需要从整幅图来估计这块丢失数据的内容。在这里，只在低层次上进行图像内部描绘，本文先提出进行内容填充的一些准则，根据这些准则建立了数学模型，把图像填充问题抽象成求一个最优估计问题，用Eule