3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 学案（人教A版选修1-2）

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1、3．2.1　复数代数形式的加减运算及其几何意义课标解读1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．(重点)2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点)复数代数形式的加减运算【问题导思】　　已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】　满足．　(1)运算法则：设z1＝a＋

2、bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律：交换律z1＋z2＝z2＋z1结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)复数加减法运算的几何意义【问题导思】　　如图，，分别与复数a＋bi，c＋di对应．1．试写出，及＋，－的坐标．【提示】　＝(a，b)，＝(c，d)，＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．2．向量＋，－对应的复数分别是什么？【提示】　＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，－对应的复数是a－c＋(b－d)i.图3－2－

3、1　(1)复数加法的几何意义如图3－2－1：设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是.(2)复数减法的几何意义图3－2－2如图3－2－2所示，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量－(即)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z1－z2(即－)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.复数的加减运算　计算下列各题：(1)(－i)＋(－＋i)＋1；(2)(－－)－(－)＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3

4、＋3i)．【思路探究】　解答本题可根据复数加减运算的法则进行．【自主解答】　(1)原式＝(－)＋(－＋)i＋1＝1－i.(2)原式＝(－＋)＋(－－＋1)i＝＋i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.　复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.【解】　z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.复数加减法的几何意义　设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出＋.【思路探究】　

5、利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出＋.【自主解答】　∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i∵＝(5,3)，＝(4,1)，由复数的几何意义可知，＋与复数z1＋z2对应，∴＋＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．作出向量＋＝如图所示．1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．　在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面

6、内作出－.【解】　z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.－＝，故－即为图中.复数加减法的综合问题　已知

7、z＋1－i

8、＝1，求

9、z－3＋4i

10、的最大值和最小值．【思路探究】　利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．【自主解答】　法一　设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又

11、z＋1－i

12、＝1，∴

13、w＋4－5i

14、＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴

15、w

16、max＝＋1，

17、w

18、min＝－1.(1)　　　　　　　　　(2)法二　

19、由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而

20、z－3＋4i

21、＝

22、z－(3－4i)

23、表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以

24、z－3＋4i

25、max＝＋1，

26、z－3＋4i

27、min＝－1.　

28、z1－z2

29、表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．设z1，z2∈C，已知

30、z1

31、＝

32、z2

33、＝1，

34、z1＋z2

35、＝，求

36、z1－z2

37、.【解】　

38、法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0.∴

39、z1－z2

40、2＝(a－c)2＋