高中数学 直线与圆锥曲线的位置关系

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1、第八节　直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线_____；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线_____；③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线_____．相交相切相离(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是______；②

2、若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_____________．平行平行或重合1．直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？【提示】必要不充分条件．直线与圆锥曲线相切时，二者只有一个公共点，但反过来不成立．如在抛物线y2＝2px(p＞0)中，过抛物线上任一点作平行于对称轴的直线，则该直线与抛物线有且只有一个交点，但此时直线与抛物线相交，而非相切．2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是多少？【提示】当弦垂直于x轴时，弦长最短为2p.【解析】直线y＝kx－k＋1＝

3、k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】A【答案】C3．(2013·郑州模拟)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．【答案】164．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【答案】－4【思路点拨】(1)由c＝1，点P(0，1)在椭圆C1上，求关于a，b的方程；(

4、2)利用待定系数法设l的方程，联立曲线方程，根据判别式Δ＝0求待定参数．1．(1)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数问题，体现了方程思想的应用．(2)对于客观性试题，要充分运用几何条件，重视数形结合的方法求解．2．(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用：①可以限定所给参数的范围；②可以取舍某些解以免产生增根．【思路点拨】(1)根据椭圆的几何性质，求参数a，b得椭

5、圆方程．(2)联立直线与椭圆方程，借助向量的坐标运算沟通参数k与a的等量关系，再利用椭圆的离心率求a的范围，进而求出k的范围．“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1.涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．1.重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数．3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”盲

6、目简单化．从近两年高考试题看，直线与圆锥曲线是高考的必考内容，尤其是定点、定值问题，最值或范围问题、探索性问题是高考的热点内容，命题方式多与向量、不等式、导数等工具性知识点交汇命制，体现知识重组，由于该部分知识是数形结合的完美体现，因此在解答问题时既要注重数(函数与方程思想)，又要注重形(几何性质)，同时应注意解题的规范化．思想方法之十六　用函数思想求圆锥曲线中的最值(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．1．(2013·济南模拟)已知抛物线y＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y

7、＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________．【答案】82．(2012·北京高考)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．课后作业（五十二）