第七章 常微分方程 第二节 一阶微分方程

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1、一阶微分方程的解法及应用习题课一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题第七章(1)三、课外练习题7/16/20211高等数学习题课一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式几个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程P315题77/16/20212例1求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解7/16/20213方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为7/16/2

2、0214方法1这是一个齐次方程.*方法2化为微分形式故这是一个全微分方程(下册内容).7/16/20215解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离因变量，得例2求解方程．两边积分，得即得原方程的通解7/16/20216解原方程变形后为齐次方程例3求解方程，．作变换，移项，得则有7/16/20217两边积分，得将代入，有即满足初始条件的解为由初始条件，即原方程的解为7/16/20218解原方程变形为即例4求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微由求解公式得分方程，7/16/202197/16/202110例5求下列方程的通解:提示:(1)令u=

3、xy,得(分离变量方程)原方程化为P315题77/16/202111令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为7/16/202112练习题:求以为通解的微分方程.提示:消去C得求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分离变量方程:P353题1，2，3(1),(2),(3),(5),(10)P353题2P353题37/16/202113提示:可化为关于x的一阶线性方程提示:这是一阶线性方程,其中7/16/202114原方程化为,即则故原方程通解提示:令7/16/202115分离变量，得两边积分，得例6求解微分方程．解法1作代换，

4、此方程为齐次方程，则有7/16/202116故方程的通解为即由于7/16/202117*解法2故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令方程变形为则有7/16/202118例7设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:03考研7/16/202119(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是7/16/202120例8设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点二、解微分方程应

5、用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程.O,水流速度大小为a,两岸则关键问题是正确建立数学模型,要点:则鸭子游速b为7/16/202121定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为(求解过程参考P306例2)(齐次方程)7/16/202122思考:能否根据草图列方程?练习题:P354题5,6已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:设曲线上的动点为M(x,y),

6、令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵P353题57/16/202123已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空的含量不超过0.06%?提示:设每分钟应输入t时刻车间空气中含则在内车间内两端除以并令与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)得微分方程(假定输入的新鲜空气输入,的改变量为P353题57/16/202124t=30时解定解问题因此每分钟应至少输入250新鲜空气.初始条件得k=?7/16/202125一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数选用题小船从河边点出发驶

7、向对岸(两岸为平行线)，设船速为船行方向始终与河岸垂直．又设河宽为，河中任为)，求小船的航行路线．解如图建立坐标系统，并使水流方向与的正向一致．设时刻时，小船位于处，则7/16/202126其初始条件为先解得，再由初始条件得，即．代入到第一个方程中，即有解得7/16/202127再由初始条件，得．即小船的航行曲线为或消去参数，得7/16/202128三、课外练习题1．求下列方程的通解：1)；2)；3)；4)；5)．7/16/2021292．设是连续函数，且满足求．3．已知光滑曲线过原点和点，任取曲线上的点，过作两坐标轴的平行线和．与轴及曲线所围成的面积等

8、于与轴及曲线围成的面积的2倍,求曲线的方程．7/16/202130