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《数学物理方法分离变量法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题第二章分离变量法我把数学看成是一件有意思的工作,而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说,我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。---拉格朗日1本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题2分离变量法核心：本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题本章层次：3偏微分方程→常微分方程齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+非齐次边界条件分离变量法思路起源物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音
2、振动时形成正弦曲线，可以表示成42.1齐次方程问题特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一个变量的函数之积。这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，边界条件也是奇次的。研究两端固定的弦的自由振动定解问题解：这是解的分离变量泛定方程：边界条件：初始条件：5研究两端固定的弦的自由振动定解问题（第一类齐次边界条件）由前面思路，设x,t是相互独立的变量（求非零解）1、分离变量代入方程中，分离过程：得出两个常微分方程：代入边界条件：6高数中结论：2、求解本征值问题7若有二阶常系数线性齐次方程其中p、q为常数，则特征方程为本方程特征方程r2+λ=0，由
3、上面结论知，方程的解与λ的不同取值有关，分情况讨论：8(1)(2)此时X（x）=0，只有零解，不合题意；同样只有零解，不合题意；C2是积分常数9非零解(3)则X（x）的一族非零解为上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。固得到下面一族解：A、B是积分常数3、解出时间函数，得到一族解时间函数解10解方程n=1,2,3……代入初始条件，有一般情况下满足不了，怎么办？！利用叠加原理！！！114、通过初始条件，求出通解此时要满足初始条件，则12则定解问题的最终解为135、物理意义：是驻波，（固有振动模
4、式）相邻节点之间距离等于半波长波长=节点数n+1,位置lnlnnlnlx,)1(,2,,0-¼¼=1415本征频率lnavlannn22,===pwpwn=1时,1lapw=基频®基波（决定了音调）n>1时lannpw=谐频®谐波（决定了音色）波腹波节（4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）6、分离变量法概要：（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)（2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）（3）确定形式解（级数形式解）1617例：求解（第二类齐次边界条件）解：设18此时边界条件为：相应的特征值问题为：此时X（x）=0，只有零解，不合题意；(
5、1)19同样只有零解，不合题意；(2)非零解(3)20则特征解为将特征值代入T（t）的方程，解出则u（x，t）的特解族为同样很难满足初始条件，由叠加原理得21此时要满足初始条件，有22故定解问题的最终解为2.2有限长杆上的热传导232425此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为26由初始条件有2.3二维拉普拉斯方程的定解问题（1）圆域因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是不可直接分离的，故化为极坐标求解。2728第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解2930周期本征值问题欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和
6、欧拉方程31根据叠加原理，得到级数解32第三步：利用边界条件利用傅立叶级数系数的求解公式33欧拉方程常系数线性微分方程附录：欧拉方程34欧拉方程的算子解法:35则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:36（2）矩形域373839叠加后的级数解为40泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数k=1,2,3…k=0,1,2,3…41k=0,1,2,3…k=0,1,2,3…422.4非奇次方程的解法研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。即考虑下列定解问题：43怎么办？！很明显现在不能直接用前面的变量分离起手式进行分
7、解，因为等式右边的非齐次尾巴没办法处理！现在的情况下，弦的振动和两个原因有关，一是外力，二是初始状态。有否经历过类似情景？是否有可借鉴的类似情况？44借用结论：这里我们用一招移花接木！全响应=零输入响应+零状态响应零输入=初始状态引起振动，与外力无关；零状态=外力引起振动，与初始状态无关45设解为：初始状态原因（零输入）外力原因（零状态）46（零输入响应）（零状态响应）47对V（x，t），可直接用前面的变量分类法求出：48对W（x，t），如何求？49505152设解法二535455原方程的解为：56例在环形域内求解下列定解问题解由于求解区域是环形区域，
8、所以改选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系57将上述定解问题用极坐标表示出来：利
