数学必修一1.3.2-1函数的奇偶性

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1、1.3.2奇偶性第1课时　函数奇偶性的概念目标要求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法；3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.热点提示利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容.1．偶函数(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于y轴对称．温馨提示：函数f(x)是偶函数⇔对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)的图象关于y轴对称．2．

2、奇函数(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于原点对称．温馨提示：函数f(x)是奇函数⇔对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)的图象关于原点对称．●想一想：若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于什么？提示：根据奇函数的定义，有f(－0)＝－f(0)，故f(0)＝0.3．奇偶性(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性．(2)几何意

3、义：定义域关于原点对称；图象关于原点或y轴对称．温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．●想一想：为什么奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称？提示：因为对定义域中的任一x值，f(－x)与f(x)必有意义，所以奇函数或偶函数的定义域必须关于原点对称．1．函数f(x)＝x2(x>0)的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．非奇非偶函数解析：定义域不关于原点对称．答案：D解析：根据奇函数定义．答案

4、：C答案：C4．已知x≥0时，f(x)＝x－2010，且知f(x)是定义在R上的偶函数，则当x<0时，f(x)的解析式是________．解析：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x－2010.又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴f(－x)＝－x－2010可化为f(x)＝－x－2010.答案：f(x)＝－x－20105．判断f(x)＝－2x5和g(x)＝x4＋2的奇偶性．解：两函数的定义域均为R.∵f(－x)＝－2(－x)5＝2x5＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∵g(－x)＝(－x)4＋2

5、＝x4＋2＝g(x)．∴g(x)是偶函数．思路分析：先判断函数定义域是否关于原点对称，再由f(－x)与f(x)的关系判断函数奇偶性．温馨提示：(3)题易将解析式化为f(x)＝2x而误判为奇函数．证明函数奇偶性必须用定义：任取x∈D，则－x∈D，f(－x)＝±f(x)．如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性．因为它不满足任意x∈D，则－x∈D.判断函数奇偶性方法很多，如奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×偶函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数等等．思路分析：由题目可获取以下主要信息：①已知函数为分段函数；②判断此

6、函数的奇偶性．解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．解：(1)当x<0时，－x>0.f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；(2)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．综上可知f(x)为奇函数．(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系．(2)分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断．解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，另一方面，

7、当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．类型三函数奇偶性的图象问题【例3】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．思路分析：利用奇函数图象的特点，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如下图

8、所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．温馨提示：奇、偶函数的图象具有对称性，这就为结合图象处理奇偶性问题提供了依据，也是数形结合思想的体现给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象．作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y