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1、概率论与数理统计第14讲（B）福建师范大学福清分校数学与计算机科学系LinShao-ling1§3一元线性回归概率论与数理统计2一些基本概念在客观世界中普遍存在着变量之间的关系，变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达.非确定性的关系即所谓相关关系.3例子:1、居民按人口计算的平均收入与某种商品（如糖果）的消费量之间，有一定的联系。一般来说平均收入高的消费量大，但平均收入相同时，这种商品的消费量却不一定是完全相同的。为此，这种关系不能用函数关系来表达；2、森
2、林中的同一种树木，其断面直径与高度之间是有联系的。一般说来，较粗的树较高，但直径相同的树其高度也不完全是相同的。为此，这种关系不能用函数关系来表达；3、农作物的产量与施肥量、气候、农药也有这种不确定的关系。44、人的身高与体重之间存在着关系,一般来说,人高一些,体重要重一些,但同样高度的人,体重往往不相同，为此，这种关系不能用函数关系来表达；5、人的血压与年龄之间也存在着关系,一般来说,年龄较大的人血压较年龄小的高,但同年龄的人的血压往往不同，为此，这种关系也不能用函数关系来表达。5上述这些变量关系都是非确定性的。这种
3、非确定性的关系称为相关关系.6对于具有相关关系的变量，虽然不能找到它们之间的精确表达式，但是通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在一定的统计规律性。回归分析就是研究相关关系的一种数学工具。由一个或一组非随机变量来估计或预测某一个随机变量的观察值时所建立的数学模型及所进行的统计分析称为回归分析7如果这个模型是线性的就称为线性回归分析这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式，而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出所建立的经验公式的有效
4、性，从而可以进行预测或估计。本章主要介绍如何建立经验公式。8（一）一元线性回归具有相关关系的变量间虽然不具有确定的函数关系，但是可以借助函数关系表达它们之间的统计规律性。用以近似地描述具有相关关系的变量间联系的函数称为回归函数。在实际中，最简单的情况是由两个变量组成的关系。9设随机变量Y与X之间存在着某种相关关系。这里，X是可以控制或可以精确观察的变量,如年龄,试验时的温度,施加的压力,电压、时间等等。即可以随意指定n个值因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变化，但它们之间的变化是
5、不确定的。由于Y是随机变量，当X取得任一个可能的值x时，Y都相应地服从一定的概率分布。10设进行n次独立试验，测得试验数据如下表：111213例1为研究某一化学反应过程中,温度x(°C)对产品得率Y(%)的影响,测得数据及散点图如下：1415再看一道例题补充例题：以家庭为单位，某种商品年需求量与该商品价格的一组数据如下表所示；价格1222.32.52.62.833.33.5需求量53.532.72.42.521.51.21.216从上表的统计结果表明，尽管价格不变，需求仍可能变化，价格改变，需求也可能不变。但是，总趋势
6、是家庭对该商品的年需求量随着价格的上升而减少，即它们之间存在着密切的联系。为了确定回归函数的类型，可将每对观察值在直角坐标系中描出它的相应的点,得出散点图如下.1718需求量d与价格p关系的散点图：19可以看出,所有散点大体上都分布在一条直线的周围.即得率与温度大致成线性关系；同样，需求量与价格大致成线性关系。，因而可以看出回归函数具有线性函数a+bx的形式。2021由上面的回归模型可以看出:Y由两部分组成,一部分是x的线性函数另一部分是，称为随机误差,是人们不可控制的。22（二）a,b的估计对X取n个不全相同的值做独
7、立试验，得到样本由（3.2）式2324显然,要L取最大值,只要(3·4)右端方括弧中的平方和部分为最小,即只需25262728293031为了计算上的方便,引入下述记号：32例2(续例1)例1数据为：为研究某一化学反应过程中,温度x(°C)对产品得率Y(%)的影响,测得数据如下,假设随机变量Y符合（3.2）式所述的条件：即其中未知参数a,b,都不依赖于x,试求Y关于x的一元线性回归方程.温度100110120130140150160170180190得率Y(%)45505461667074788589331004510
8、0002025450011051121002601561012054144002916648013061169003721793014066196004356924015070225004900105001607425600547611840170782890060841326018085324007225153001908936
