数形结合解决不等式有关问题

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1、数形结合解与不等式有关的问题教学目标：1．知识教学点掌握用数形结合的思想方法解不等式及求参数的取值范围使不等式（能、恰、恒）成立．2．能力训练点在用数形结合的思想方法解题过程中，通过对函数、解析几何、向量、导数等各部分知识的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决题的能力．3．学科渗透点在解决问题的过程中，形成和发展理性思维，提高学生数学素质及创新意识．（一）数形结合解不等式f(x)=log2(–x)g(x)=x+1例1.(2003全国理14)使log2(–x)＜x+1成立的x的取值范围是．解：令f(x)=log2(–x)，g(x)=x+1，作出两函数的图象，由图象可知，x

2、的取值范围是(–1，0).例2：解不等式：变形得x2+y12=9(y1≥0)，(x–3)2+(y2–3)2=9(y2≤3)，作图，由图形可知，不等式的解集为{x

3、0＜x＜3}．作出两函数的图象，由图象可知，不等式的解集为区间[xC，xB]，∵B(3，0)且b–a=2，∴xC=1，ABC（二）数形结合解含参数不等式成立问题f(x)=(x–2)2例4.已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值是（）A．2B．3C．4D．5解：f(x)=(x+1)2，令y=x，依题意，则在区间[1，m]上f(x+t)的图象在直线y=x下方．作

4、图，由图形可知，当f(x+t)=(x–2)2时，实数m的值最大，解方程(x–2)2=x，得x=1，4．即m的最大值4，故选C．y=xf(x)=(x+1)2y2=13–13a例5．已知在关于x的不等式loga(x2–4)＞loga(6x–13a)(0＜a＜1)的解集中，有且只有两个整数解，求a的取值范围．解：∵0＜a＜1，∴作出函数y1在区间(–∞，–2)∪(2，+∞)的图象，设y1=(x–3)2，y2=13–13a，由图象可知，1＜13–13a≤4，解得思考题.(2007全国Ⅰ理20)设函数f(x)=ex–e–x．（Ⅰ）求证：f(x)的导数f(x)≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x

5、)≥ax，求a的取值范围．（Ⅱ）解法一：令g(x)=f(x)–ax，则g(x)=f(x)–a=ex+e–x–a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g(x)=ex+e–x–a＞2–a≥0，故g(x)在(0，+∞)上为增函数，所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．（ⅱ）若a＞2，方程g(x)=0的正根为，此时，若x∈(0，x1)，则g(x)＜0，故g(x)在该区间为减函数．所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜g(0)=0，即f(x)＜ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是(–∞，2]．f(x)=ex–e–x思考题.(2007全国Ⅰ理20)设函数

6、f(x)=ex–e–x．（Ⅰ）求证：f(x)的导数f(x)≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．y=ax（Ⅱ）解法二：利用导数研究f(x)的性状，∵f(x)=ex+e–x＞0，∴函数f(x)当x≥0时单调递增，又∵函数f(x)当x≥0时也单调递增，∴函数f(x)是下凸的．作出函数f(x)的图象，令y=ax，其图象是过原点的直线，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，则直线y=ax在f(x)的图象的下方．∴只要直线y=ax在f(x)在原点处的切线下方即可．∵f(x)在原点处的切线的斜率f(0)=2，∴a≤2．在解选择题、填空题中更显其优越小结：1.抽象问题直观

7、化、生动化2.复杂问题简单化有助于把握数学问题的本质避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程3.4.注意问题：准确把握代数式的几何意义，实现“数”向“形”的转化课后练习：