届总复习-走向清华北大-5函数的定义域与值域

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1、第五讲函数的定义域与值域回归课本1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.注意:(1)确定函数定义域的原则:①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数x的集合;②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合;③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:①如果只给函数解析式(不

2、注明定义域),其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域;②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定定义域.(3)复合函数定义域的求法:若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.2.函数的值域在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫做函数的值域.注意:确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域

3、是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.考点陪练答案:A答案:C3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为()A.{-1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y

4、-1≤y≤3}D.{y

5、0≤y≤3}答案:A答案:B5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是()A.[-2,2]B.[-4,0]C.[0

6、,4]D.[-1,1]答案:A类型一函数的定义域解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域必须写成集合或区间的形式.(2)确定函数的定义域①当f(x)是整式时,其定义域为R.②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.④对于x0,x不能为0,因为00无意义.⑤f(x)=tanx的定义

7、域为⑥f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x

8、x>0}.⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问题具体分析.⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.[分析]只需要使解析式有意义,列不等式组求解.类型二复合函数的定义域解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求

9、f(x)的定义域,其方法是:利用a

10、,则函数f(2x)的定义域为________.[分析]根据复合函数定义域的含义求解.[解析](1)∵f(x)的定义域是[0,1],∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,解得-1≤x≤1.∴f(x2)的定义域为[-1,1].[答案][1,4](-∞,0]类型三求函数的值域解题准备:求函数值域的总原则:由定义域､对应法则f在等价条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切相关,常可转化为求函数的最值问题.[分析]本题主要考查函数值域问题,考

11、查运算能力､数形转化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法求解.[反思感悟]第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小题利用基本不等式时易漏掉对x<0的讨论.类型四定义域与值域的综合应用解题准备:函数的定义域､值域问题主要转化为方程或不等式解决,可求解相关参数或其它综合应用.【典例4】(2009·广东