数与式地运算、因式分解(教师版)

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1、实用文档数与式的运算一、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：⑴平方差公式；⑵完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：⑴立方和公式；⑵立方差公式；⑶三数和平方公式；⑷两数和完全立方公式；⑸两数差完全立方公式【例1】计算：⑴⑵(3)(4)答案：（1）（2）（3）(4)例题的设计意图(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式（3）（4）利用整体代换思想简化运算。二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1)(2)(3)(4)三、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的

2、基本性质．【例2】化简（1）（2）标准文案实用文档例题的设计意图（1）考查根式的性质（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快（1）解法一：因为又，所以解法二：故解法一：利用到和，先计算原式的平方，然后再开方．（1）解法一：原式=解法二：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能。标准文案实用文档因式分解的方法较

3、多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)【公式1】【公式2】【公式3】【公式4】【公式5】【例1】把下列各式分解因式：⑴；⑵；⑶=；⑷；【答案】（1）（2）（3）（3）（4）二、十字相乘法一般二次三项式型的因式分解。大家知道，．反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二

4、次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．标准文案实用文档注意：1、十字相乘法思路：分解二次三项式，尝试十字相乘法。分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，【例2】把下列各式分解因式：⑴_______________；⑵___________；⑶_______________；（4）=_____________（5）=______________【答案】⑴；⑵；⑶；（4）（5）【变式】用十字相乘法求下列方程的根⑴⑵⑶（4）【答案】（1）（2）（3）（

5、4）【拓展】双十字相乘法对于某些二元二次六项式()，我们也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式．我们将上式按降幂排列，并把当作常数，于是上式可变形为可以看作是关于的二次三项式．对于常数项而言，它是关于的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为。再利用十字相乘法对关于的二次三项式分解.所以原式=上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(双十字相乘法)。具体步骤:分解形如的二次六项式,在草稿纸上，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如下图所示,标准文案实用文档如果，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则【例】把下列各式分解因式

6、：⑴____________________________________________；⑵____________________________________________；⑶____________________________________________；【答案】⑴⑵⑶三、求根法如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么多项式可以分解为。由，比较系数得故就得到韦达定理。韦达定理：设是关于的一元二次方程的两根，则【例3】把下列各式分解因式：⑴_________________；(2)【答案】⑴；(2)标准文案实用文档【例4】若x1和x2分别是一元二次方程2

7、x2＋5x－3＝0的两根．（1）求

8、x1－x2

9、的值；（2）求的值；（3）x13＋x23．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，．（1）∵

10、x1－x2

11、2＝x12+x22－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＝＋6＝，∴

12、x1－x2

13、＝．（2）．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等【重要结论】：一元二次方程