数学高二(上)沪教版(数列地极限(三))教师版

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1、实用文档年级：高二辅导科目：数学课时数：3课题数列的极限（三）教学目的1、理解数列极限的概念；2、掌握数列极限的运算法则；3、掌握常用的数列极限。4、掌握公比<1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】1、数列极限的概念：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列的极限，或叫做数列收敛于A。2、对概念的理解：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列__不一定_____极限；（2）数列是否有极限与数列前面的有限项__无关_____；

2、（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个_确定_____的常数。3可以通过几个反面的例子来理解数列极限的概念：如：，当无限增大时，数列的项也无限增大，显然他们不能与某一个常数无限的接近；又如：，当无限增大时，数列的项始终在1和-1之间摆动，因此也不能与某一个常数无限的接近；再如：，虽然当无限增大时，数列的项与-1会逐渐接近，但这种接近不是无限接近，数列的项与-1的距离始终大于1，即不能无限趋近于0。4、数列极限的运算法则如果an=A，bn=B，那么(1)(an±bn)=A±B(2)(an·bn)=A·B(3)=(B≠0)极限不

3、存在的情况是（1）；（2）极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1….注意：数列极限运算法则运用的前提:(1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用.思考：如何正确运用数列极限的运算法则？标准文案实用文档1、an与bn存在是(an±bn)/(an·bn)存在的__充分非必要_______条件。3、几个重要极限①C=C（常数列的极限就是这个常数）②设a>0，则特别地③设q∈(-1，1)，则qn=0；或不存在。若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）

4、为：关于无穷等比数列各项和：1、使用条件：若公比为，则的范围是_____;2、常见的应用：循环小数化分数；几何应用。【典型例题讲解】例1、求下列极限。(1)(-)(2)[(-)](3)(+++…+)(4)(a≠1)解：(1)(2)(3)(4)当

5、a

6、<1时，原式=1；当

7、a

8、>1时，原式=a；当a=-1时极限不存在变式练习：（1）（2）例2、已知=5，求常数a、b、c的值。解：a=0，b=，c=变式练习：若=5，求常数a、b、的值。标准文案实用文档例3、设无穷等比数列满足，求首项的取值范围。解：。变式练习：在等比数列中，a1>1,

9、前项和Sn满足，那么a1的取值范围是……………………（）（A）（1，＋∞）（B）（1，4）（C）（1，2）（D）（1，）例4、以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以正方形的边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点，再在正方形内用同样的方法得到又一个正方形，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD）.解：（提示）变式练习：设T1，T2，T3……为一组多边形，其作法如下：T１是边长为1的三角形以Tn的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为Tn+1，如图所示。令an表示Tn的周

10、长，A(Tn)表示Tn的面积。(Ⅰ)计算T1，T2，T3的面积A(T1)，A(T2)，A(T3)(Ⅱ)求(+…+)的值。解：(Ⅰ)A(T1)=·1·1·sin60°=A(T2)=3····sin60°++A(T1)==A(T3)=12····sin60°+A(T2)=(Ⅱ)由分析知an=an-1(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故an=3·()n-1∵=·()n-1(++∴…+)==标准文案实用文档注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起

11、来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。能力点：由图像变化联系数列知识。例5、已知公比的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。（1）求数列的首项和公比；（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列。求的前10项之和；（3）设为数列的第项，。求，并求正整数，使得存在且不等于零。（注：无穷等比数列各项和即当时该无穷等比数列前项和的极限）解：（Ⅰ）.依题意得，⑴代入⑵得，⑴⑶得，解得，代入⑴得即，（Ⅱ）.由（Ⅰ）知，所以所以，数列{}是以2为首项，3为公差的等差数列，记{}的前项和为，所以，（Ⅲ）.由（

12、Ⅱ）知，所以，所以，令，所以，所以所以，，标准文案实用文档当存在且不为零时，。【练习】一、填空：1、求极限：（1）___________；（2）___________；（3）___________；（4）=___________；（5）=_____