北京大学量子力学课件第6讲

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1、第六讲Ⅰ.薛定谔方程的讨论波包扩展的时间量级我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时间量级ⅰ人：亿年ⅱ尘粒：万年ⅲ电子：秒波函数随时间的演化可用Green函数来实现。格林函数的含义是：时刻，粒子处于，则时刻，处发现粒子的几率密度振幅就是，即B．粒子数守恒在非相对论的情况下，波函数应满足方程这即要求，凡满足Schrodinger’eq.的波函数，必须满足上式。若取则称为几率流密度矢。这即为几率守恒的微分形式。C.多粒子体系的薛定谔方程设：体系有个粒子，质量分别为，所处的位势为，相互作用为，则其中Ⅱ.不含时间的薛定谔

2、方程，定态问题我们已介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关。（1）不含时间的薛定谔方程由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。即H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：其中方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为通常称（其中）为定态波函数。对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数C才与t无关。否则与t有关。（2）定态：A.定态定义：具有确定能量的态，称为体系的

3、定态，或者说，以波函数B.定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关，则1．体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。2．几率流密度矢，不随时间变化。3.任何不含t的力学量在该态的平均值不随时间变化。4.任何不显含t的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。§2.6测不准关系由于粒子应由态函数来描述。因此，就不能像经典那样以每时刻，来描述（事实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定取一个值）。但是否仍能像经典那样在处发现粒子具有

4、动量呢？W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足类似这称为Heisenberg测不准关系。应该注意：这是实验的结果;当然也是波一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。我们将从几个方面来论述它:（1）一些例子：A.具有确定动量（一维运动）的自由粒子，是以来描述，其几率密度所以，对任何处的相对几率都相同。也就是说，发现粒子在区域中的几率都相同。

5、所以，的不准确度为，虽，但不违背测不准关系。B．如一个自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述。设：Δk很小，变化很缓慢，可近似取为所以，这是具有一定形状沿x方向传播的波包。波包的极大值位置为，所以它移动的速度即粒子的速度，如前述称为群速度。在时，位相为在时，位相也为所以，位相传播速度，如前述称为相速度。这个波包扩展度的区域不是任意小，即于是有所以要波包仅局限于空间一定区域，相应的扩展度不可能任意小；当的扩展度一定时，那波包的扩展度也不可能任意小。（2）一些实验：A．位置测量：一束电子平行地沿方向入

6、射，通过窄缝，从而测出方向的位置。在方向有一不确定度Δy=a，而人们认为但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电子数的多少显示出干涉图象（电子数的大小），这一单缝干涉的第一极小为即通过单缝后，电子在方向的动量不再为0，而在0附近有一宽度所以，当测量y的位置越精确（即a越小），那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要满足B．用显微镜测量电子的位置：一束具有确定动量的电子沿x轴运动。用显微镜观察被电子散射的光束来测量电子的位置。但成的像是一衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位置的精度）事实上，光子是一个个到

7、达屏上（）（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果因波－粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。用来描述物质粒子时，它总可以表为由Fourier逆变换有从Fourier变换理论知：的扩展范围（即有意义的区域）和它的富氏变换所扩展的范围不能同时任意小。几率解释＋态叠加原理给出了Fourier变换理论用在量子力学波函数时的物理含意。（4）能量－时间测不准关系A．能量－时间测不准关系：在狭义相对论中，，都看作四度矢，所以有测不准关系，即推测也应有。当固定t时，有现固定x

8、，有B．能量－时间测不准关系的物理含意1．在空间固定处，发现体系如有一不确定的时间间隔Δt，那该体系的能量必有一扩展度ΔE，且有。例如：若一个自由粒子的波包宽，它通过所需时间。所以，在间隔内，都有可能在处发现粒子。由所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确定值，而是有一扩展度。2．体系几率分布发生大的改变需时间Δt，那体系的能量不确定度为，使例1：定态：其几率分布不随时间变，所以要使这一