北京大学量子力学课件第21讲

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1、第二十一讲I.平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式。（1）平均值：力学量在体系（处于态）中的平均值为是在中的表示。若包括力学量B.对于两个算符乘积的平均值（2）本征方程：算符的本征方程在表象为从而有要方程组有非零解，即不全为，则要求系数行列式为，即由这求出.然后代入方程组求出相应的（3）薛定谔方程在表象中，基矢为，则这即为表象中的薛定谔方程的矩阵形式。若不显含，而表象就是表象，则从而得当不显含t，在表象中的表示为，由初态给出（它是时，在表象中表示），由在任一表象中求出。Ⅱ.量子态的不同描述波函数和算符不是直接观测量.仅力学量取值，及其

2、几率分布（或几率）是直接观测量。因此，重要的是：①可能取的值②测量取的几率振幅A.薛定谔绘景（SchrodingerPicture）若不显含，则所以，这一变换是一幺正变换而本征方程若不显含，那，也与无关时刻，测量取值的几率振幅为在薛定谔绘景的描述中，态矢量随t的变化，反映在它的表示随t的变化。而力学量的本征值及本征矢不随t变化。B.海森堡绘景（HeisenbergPicture）1.态矢量2.算符和本征方程本征值相同，基矢随时间演化对易关系保持不变3.算符随时间变化（运动方程）不显含这时4.本征矢随t变化这表明，在H.P.中态矢量不随t

3、变，而相应的本征矢沿一定方向反“转动”将算符方程用于，例：求H.P.中一维谐振子的坐标算符和动量算符。显然，但第七章自旋在讨论电子在磁场中的运动时，我们发现电子具有轨道磁矩。如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为如在方向显然是量子化的，它取个值在较强的磁场下（），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场~1T的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。§7.1电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach实验

4、（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为如果经过的路径上，磁场在Z方向上有梯度即不均匀，则受力从经典观点看取值（从）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值所以原子应分布在一个带上。但Stern-Gerlach发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。而人们知道，银原子（）基态，所以没有轨道磁矩.而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩

5、称为内禀磁矩。与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。（2）电子自旋存在的其他证据A．碱金属光谱的双线结构原子光谱中有一谱线，波长为5893Å。但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成ÅÅ这一事实，从电子具有三个自由度是无论如何不能解释。B．反常塞曼效应（AnomalousZeemaneffect）原子序数为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶如钠和的两条光谱线，在弱磁场中分裂为条和条。这种现象称为反常塞曼效应。C．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为，

6、而是。对于不同能级，可能不同，而不是简单为(称为因子)。根据这一系列实验事实，G.Uhlenbeck）（乌伦贝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假设①电子具有自旋，并且有内禀磁矩，它们有关系②电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值，所以以为单位，则（而）现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac提出的电子相对论性理论自然得到。考虑到辐射修正§7.2自旋－微观客体的一个动力学变量(1)电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩假设：自旋算符有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系A.对易关系B.由于它

7、在任意方向上的分量测量仅取二个数值，所以于是是一常数C.矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值仅二个，所以可用矩阵表示。①若选作为力学量完全集，即取表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值相应的本征矢其对应的表示为，②在表象中的矩阵表示我们知道，这只要将作用于的基矢并以基矢展开，从展开系数来获得.由因此和标积同理可得得系数矩阵为转置得系数矩阵为转置得对于在方向上的分量为则本征矢③PauliOperator；为方便起见，引入泡利算符于是，在表象中有（或称Pauli表象）称为泡利矩阵由此得于是有∴例．求的本征值，

8、本征矢在表象中表示因已知在表象中的矩阵形式为所以，在表象中的本征方程要不同时为，系数行列式应为对于（2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A.自旋波函数（电子的自旋态）对于的本征方程为在其自身表象