北京大学量子力学课件 第9讲

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1、第九讲。宇称(1）已证明，位势在xx的变换下不变，则可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的解。把以偶函数描述的态称为偶宇称态u1n(x)u1n(x)奇函数描述的态称为奇宇称态。u2n(x)u2n(x)宇称的概念是量子力学所特有的。(2)有限对称方位阱：aV0xV(x)2a0x2仅讨论束缚态，所以V0E0由于是一维对称势的束缚态。因此其解必具有确定的宇称。所以，只要在区域x0中求解A．偶宇称解：2u(x)V(x)u(x)Eu(x)2m由于，V0E0有解

2、aAcosαxBsinαx0xu(x)2βxβxaCeDex，22mE2m(V0E)其中，α，β。22由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数，即在x0处，导数为零的解。于是，要求B0另外，要求解有界，所以可能解为aAcosαx0xu(x)2βxaCex2au利用x处，波函数及其导数连续，，令2uaa,22tan而22mV02a2222α由这两个方程→E2m()0,所以，在第一和第三象限。βxa

3、Cex2au(x)Acosαxx2Ceβxxa2B．奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在x0处应为0，于是A＝0。得解的形式aBsinαx0x2u(x)βxaCex2au同理在x处连续，得2uξcotξη另外22mV02ξηa2222α从而求得→E2m（）η0,所以，ξ在第二和第四象限而相应波函数为xaCex2au(x)Bsinxx2Cexxa2C．讨论mV202πa1.当222

4、222π即ξη,只有一个解。而在区域2παx2中点中无零点，即为态为基态;22当πmV022πa2222时，这时交二个点，即有二个分立能级。基态无零点：第一激发态有一个零点。当22(n01)πmV02n0πa2222时，交n0个点，有n0条能级。等高有限方位势，分立能级数目取决于2mV0a的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少一个。2.在经典力学中，当EV0时，粒子只能aa处于区域中。而量子粒子，则有一定的几22率

5、处于V0E区域中，而且必须有。正是由于2这点这一点，无论mV0a如何小，至少有一个解。(3)求粒子在双位阱中运动A．位势两边的波函数导数间的关系2u(x)V(x)u(x)EEu(x)2m其中，。V(x)V0δ(xa)2mV0u(a0)u(a0)u(a)2B．求双位阱解V(x)V0δ(xa)δ(xa)20xau(x)Eu(x)2mxa令2mEΚ2(0,a)xx在区域有解e,e，即BcoshxCsinhxΚx在xa

6、区域有界,于是有解Ae。1．偶宇称态解Bcoshx0xau(x)xAexa由波函数在a处连续AeaBcosha由导数间的关系为a2mV0aAeBsinhaAe2所以，2mV02aAeBsinha于是有0tanha12mV0代，0ya2得a，tanhy01y偶宇称态的能量为22ygEgg22ma10ayg0a2其相应的波函数为Aeygx/axau(x)Bcoshygx/axaygx

7、/aAexa2．奇宇称解：由波函数在x0处为零，于是有Bsinhx0xau(x)xAexa由波函数在xa处连续aBsinhaAe波函数导数在xa处的联系a2mV0aAeBcoshaAe20aBcoshaAe得ytanhy0ay奇宇称态的能量为22y1E12ma0a0y12Aey1x/axau1(x)Bsinhy1x/axaAey1x/axa结论：①当位势有对称性时，用

8、宇称概念求解简易得多。②位势如为势，则在其宗量为零处的波函数导数间的联系为（VV0δ(xa)）2mV0u(a0)u(a0)u(a)2§3.7束缚能级与反射振幅极点的关系MaxBorn给出定态散射解ikrikzeψ(r,θ,φ)efθ,φr1（如相互作用力程有限，或当r比还20r快）束缚态S矩阵的极点在一维情况下，对应的极点应是反射振幅的极点，而不仅是透射振幅的极点。因有些问题是没有射有透射振幅振幅。但