函数的单调性(刘琪版本)

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1、函数的单调性与最值——刘琪观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时,函数值f(x)是如何变化的？1xyo0y1124-1-2-11x(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小xyo-1xOy1124-1-21当x增大时f(x)随着增大函数在R上是增函数函数在(-∞,0]上是减函数(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大函数在(0,+∞)上是增函数1函数f(x)=x2:则f(x1)=,f(x2)=x12x22∴函数f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数.任意,都有任意,都有x0x1x2yf(x1)f(x2)在(0,+∞)

2、上任取x1、x2,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.某个区间D某个区间D任意任意xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)x1、x2的三大特征：①属于同一区间②任意性③有大小:通

3、常规定x1＜x2在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减问:能否说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?反比例函数：-2yOx-11-112在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减函数：yOx在(0,+∞)上任取x1、x2当x1yOx-11-11取自变量－1<1，而f(－1)f(1)因为x1、x2不具有任意性.∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数<如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都

4、有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－

5、2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].逗号隔开例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:孤立的点没有单调性，区间端点有定义的一般写成闭区间，区间端点无定义的必须写成开区间．-432154312-1-2-1-5-3-2xyO在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.证明函数　　　在R上是减函数.即∵∴∴判断差符号例2.利用定义：证明：设是R上任意两个值，且，

6、∴函数在R上是减函数．设值作差变形下结论则骤4.下结论:由定义得出函数的单调性.1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1

7、增函数、减函数的定义:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)3.(定义法)证明函数单调性的步骤:设值判断差符号作差变形下结论课堂小结2.图象

8、法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右1.增函数、减函数的定义；上升下降一般地，①含绝对值的函数可以先去掉绝对值号化为分段函数再画图．应注意区分y＝

9、f(x)

10、与y＝f(

11、x

12、)的画法不同．求函数单调区间利用图象求函数单调区间作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间.【分析】先将函