【8A版】初二几何中常用辅助线的添加

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1、【MeiWei81-优质实用版文档】一.教学内容：　　寒假专题——初二几何中常用辅助线的添加【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形例1.已知：AB∥CD，AD∥BC。求证：AB＝CD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。证明：连结AC∵AB∥CD，AD∥BC∴∠1＝∠3，∠2＝∠4在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截

2、长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例2.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD证法一：（补短法）延长AC至点F，使得AF＝AB在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD（SAS）∴∠B＝∠F【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】∵∠ACB＝2∠B∴∠ACB＝2∠F而∠ACB＝∠F＋∠FDC∴∠F＝∠FDC∴CD＝CF而AF＝AC＋CF∴AF＝AC＋CD∴AB＝AC＋

3、CD证法二：（截长法）在AB上截取AE＝AC，连结DE在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS）例3.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。证明：分别延长BA、CE交于点F∵BE⊥CF∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF和△BEC中【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81

4、-优质实用版文档】∴△BEF≌△BEC（ASA）∵∠BAC＝90°，BE⊥CF∴∠BAC＝∠CAF＝90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF∴BD＝2CE（三）加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。例4.已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。求证：AC＝2AE分析：欲证AC＝

5、2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EF＝AE，证AF＝AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结BF∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED在△BEF和△DEA中∴△BEF≌△DEA【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA∵∠BAD＝∠B

6、DA∴∠EBF＝∠BAD在△ADC和△FBA中∴△ADC≌△FBA∴AC＝AF又∵AF＝2AE∴AC＝2AE（四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。例5.已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P。求证：AP平分∠BAC证明：过P点作PD⊥AC于D点，PF⊥AB于F点，PE⊥BC于E点∵PC，BP为△ABC的∠B、∠C的外角平分线PD⊥AC，PE⊥BC∴PD＝PE（角平分线性质）同理：PF＝PE∴PD＝PF（等量代换）∴AP平分∠BAC（角平分线性

7、质逆定理）例6.已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。求证：∠BAP＋∠BCP＝180°【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】分析：要证∠BAP＋∠BCP＝180°，而由图可知∠BAP＋∠EAP＝180°，故只要证∠EAP＝∠BCP即可。由∠1＝∠2，PD⊥BC，想到过P点向BA作垂线PE，有PE＝PD，BE＝BD，又由，得AE＝CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP＝∠BCP，问题得证。证明：过点P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1＝∠2∴PE＝PD（角平分线的性质）在Rt△BP

8、E和Rt△BPD中∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL