初二几何中常用辅助线的添加

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1、WORD文档下载可编辑一. 教学内容：　　寒假专题——初二几何中常用辅助线的添加 【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形  例1. 已知：AB∥CD，AD∥BC。       求证：AB＝CD       分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。       在本题中，我们可通过连结AC，构造全等三角形来证明线段相等。       证明：连结AC       ∵AB∥CD，AD∥BC       ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4       在△ABC和△CDA中              ∴△ABC≌△CDA（ASA）      

2、 ∴AB＝CD （二）截长补短法引辅助线       当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。       通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。  例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。       求证：AB＝AC＋CD       证法一：（补短法）       延长AC至点F，使得AF＝AB       在△ABD和△AFD中              ∴△ABD≌△AFD（SAS）专业技术资料分享

3、WORD文档下载可编辑       ∴∠B＝∠F       ∵∠ACB＝2∠B       ∴∠ACB＝2∠F       而∠ACB＝∠F＋∠FDC       ∴∠F＝∠FDC       ∴CD＝CF       而AF＝AC＋CF       ∴AF＝AC＋CD       ∴AB＝AC＋CD       证法二：（截长法）       在AB上截取AE＝AC，连结DE       在△AED和△ACD中              ∴△AED≌△ACD（SAS）                 例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE

4、⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。       分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。       证明：分别延长BA、CE交于点F       ∵BE⊥CF       ∴∠BEF＝∠BEC＝90°专业技术资料分享WORD文档下载可编辑       在△BEF和△BEC中              ∴△BEF≌△BEC（ASA）              ∵∠BAC＝90°，BE⊥CF       ∴∠BAC＝∠CAF＝

5、90°，∠1＋∠BDA＝90°，∠1＋∠BFC＝90°       ∴∠BDA＝∠BFC       在△ABD和△ACF中              ∴△ABD≌△ACF（AAS）       ∴BD＝CF       ∴BD＝2CE （三）加倍法和折半法       证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。  例4. 已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。       求证：AC＝2AE       分析：

6、欲证AC＝2AE，只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是△ABD的中线，故考虑延长AE至F，使EF＝AE，证AF＝AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）       只要证△ABF≌△ADC，观察图形发现，可以证明△ADE≌△FBE，则可得出BF＝AD，尚需条件∠ADC＝∠FBA，而这可由外角的性质推出。       证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结BF       ∵AE是△ABD的中线       ∴BE＝ED       在△BEF和△DEA中       专业技术资料分享WORD文档下载可编辑       ∴△BEF≌△DE

7、A       ∴∠EBF＝∠BDA，BF＝DA       ∵∠BAD＝∠BDA       ∴∠EBF＝∠BAD              在△ADC和△FBA中              ∴△ADC≌△FBA       ∴AC＝AF       又∵AF＝2AE       ∴AC＝2AE （四）利用角平分线的性质来添加辅助线       有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。  例5.